Методические указания к решению задачи Расчет сглаживающего фильтра Трехфазные цепи Цепи несиносоидального тока

Типовые расчеты по электротехнике

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ И ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ

 Типовые примеры решения задач

 Пример 4.1. Определить коэффициенты четырехполюсника (рис.4.2,а) в формах А, Н и Z, если r=20 Ом, xL=50 Ом, xC=50 Ом. Рассчитать параметры Т и  П схем замещения. Определить характеристические параметры a, b, ZC1 и ZC2. При сопротивлении нагрузки Z2, равном ZC2, определить коэффициенты передачи по напряжению  Ku=U2/U1 и по току Ki=I2/I1.

Решение

Вычислим входные комплексные сопротивления со стороны первичных зажимов четырехполюсника при холостом ходе и при коротком замыкании на его выходе

Ом,

Ом.

Определяем входное комплексное сопротивление со стороны вторичных зажимов четырехполюсника при коротком замыкании его первичных зажимов

 Ом.

Основные уравнения четырехполюсника в форме А

 


U1=AU2+BI2,

I1=CU2+DI2,

где:

,

 Ом,

 См,

.

Проверка: AD-BC=1

 

Основные уравнения четырехполюсника в форме H

U1=H11I1+ H12U2,

I2= H21I1+ H22U2,

где  Н-параметры (см. табл. 4.2):

Таблица 4.2

Форма уравнений

A

H

Z

A

A

B

C

D

H

H11

H12

H21

H22

Z

Z11

Z12

Z21

Z22

Ом,

,

,

См.

Система основных уравнений четырехполюсника в форме Z

U1=Z11I1+ Z12I2,

U2= Z21I1+ Z22I2,

где  Z-параметры (см. табл. 4.2):

Ом,

Ом,

Ом,

Ом.

Рассчитаем параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника (рис.4.2,б):

 Ом,

 Ом,

 Ом.

Т-схема физически нереализуема, т.к. Z0T содержит отрицательную вещественную часть.

Параметры П-образной схемы замещения (рис.4.2,в):

 Ом,

 Ом,

Ом.

Рассчитаем характеристические сопротивления четырехполюсника:

Ом,

Ом.

Постоянная передачи Г=a+jb,

Cледовательно, коэффициент затухания

a=ln(4.57)=1.52 Нп,

а коэффициент фазы (если принять n=0)

b=53.3°=0.93 рад

и постоянная передачи четырехполюсника

Г=1.52+j0.93.

В режиме согласованной нагрузки (Z2=ZC2) уравнения четырехполюсника имеют вид

откуда определяем коэффициенты передачи четырехполюсника

Пример 4.3. Рассчитать параметры (L и С) низкочастотного Т-образного L,С-фильтра (рис.4.3), построить его рабочие характеристики а(ω),  b(ω), Zc(ω) и определить необходимое число звеньев таких фильтров, чтобы на частоте f1 при согласованной нагрузке коэффициент затухания а1 был не менее 36 дБ. Путём введения корректирующего звена получить фильтр типа “m”, вычертить его схему и определить параметры элементов. 

Дано: fср = 100 Гц, ρ = 158 Ом., f1 = 250 Гц, а1= 36 дБ, m = 0.6. 

Определить Lк, L`, С`. 

Решение

1. Зная частоту среза fср и номинальное сопротивление ρ = rнг, рассчитаем граничную угловую частоту и параметры фильтра:

 

ω0 = 2π ∙ fср = 2π ∙ 100 = 628 рад/с

L = =  = 0.503 Гн; С == = 20.2 мкФ;

 Это расчётные значения индуктивности и ёмкости НЧ-фильтра, поэтому в заданной Т-схеме конструктивно должны быть установлены две индуктивности по 0.25 Гн и один конденсатор ёмкостью 20.2 мкФ. 

 2. Частота f 1 = 250 Гц приходится на зону затухания фильтра. С учетом этого рассчитываем характеристическое сопротивление Zcт(f 1) и коэффициент затухания а1.

ξ = = 250/100 = 2.5 ;

Zcт (f 1) = ρ ∙ = 158 = j 362 Ом ,

сh a (f 1) = 2ξ 2 – 1= 2 ∙ 2.52 – 1 = 11.5 ;

а1 = аrcch (11.5) = 3.134 Нп = 27.22 дБ  (1 дБ=0.115 Нп).

Как видим, чтобы на этой частоте обеспечить затухание в 36 дБ, необходим двухзвенный фильтр.

 

3. Рабочие характеристики  а(ω) и b(ω) в зоне прозрачности и в зоне затухания описываются выражениями:

зона прозрачности а(ω) = 0; cos b(ω) = 1 – 2ξ 2; 

зона затухания сh a (ω) = 2ξ 2 – 1; b(ω) = π

Зависимость  характеристического сопротивления Zcт (ω) для 0 ≤ f ≤ ∞ :

 

 Zcт (ω) = ρ ∙

Расчёты по этим выражениям сводим в табл. 4.5

 Таблица 4.5 

Величина

Зона прозрачности фильтра

Зона затухания фильтра

ξ = f / f 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

5

cosb

1

0.92

0.68

0.28

-0.28

-1

-1

-1

-1

-1

-1

b, рад

0

0.40

0.82

1.29

1.85

+ π

+ π

+ π

+ π

+ π

cha

1

1

1

1

1

1

3.5

7.0

11.5

17

49

а, Нп

0

0

0

0

0

0

1.925

2.634

3.134

3.525

4.59

Zcт (ξ), Ом

158

154.8

144.8

126

94.8

0

+j177

+j274

+j362

+j447

+j774


Графики рабочих характеристик а(ω), b(ω), Zcт(ω) по данным табл. 4.5 построены на рис.4.4,а,б.


На рис.4.5 представлены  Т-схемы “m”- фильтра, полученные введением последовательного Lк и параллельного  2Ск корректирующих элементов. Аналогично, с помощью одного элемента Cк или двух элементов 2Lк получают П-схему фильтра типа “m”.

Величины корректирующих элементов Lк и Ск для обеих схем определяются одинаковыми формулами:

Lк = L1∙;

Cк = С2∙,

где m - глубина коррекции.

 Таким образом, при последовательной коррекции “m”- фильтр (рис.4.5а) должен иметь следующие конструктивные параметры:

 Lк = L1∙= 0.503∙ = 0.134 Гн , 

 L1`/2 = m∙L1/2 = 0.15 Гн, C2`= m∙C2 = 12.094 мкФ ; 

при параллельной коррекции (рис.4.5.б) – соответственно:

 2Cк = 2С2∙= 2∙ 20.156∙ 0.267 = 10.75 мкФ, 

 L1`/2 = m∙L1/2 = 0.15 Гн, C2`= m∙C2 = 12.094 мкФ. 

 Указание. Величины корректирующих элементов Lк и Ск для схем высокочастотных фильтров определяются выражениями: 

 Lк = L∙; Cк = С ∙ ; L` = L /m , C `= C / m . 


Расчет токов с применением законов Кирхгофа