Методические указания к решению задачи Расчет сглаживающего фильтра Трехфазные цепи Цепи несиносоидального тока

Типовые расчеты по электротехнике

Пример 1.2. Методом узловых потенциалов определить токи во всех ветвях схемы цепи рис.1.7. Для контура “1-2-4-1” построить потенциальную диаграмму.

Дано: Е1 = 12 В, Е2 = 6 В, Jк = 2 А, 

r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = 1 Ом. 

Решение

Выполнив подготовительную работу (см. пример 1.1, а также рис.1.7), приступаем к расчету. При применении метода узловых потенциалов нужно один из узлов заземлить. Если в схеме есть ветвь, содержащая только ЭДС, то заземляется один из узлов, к которым примыкает такая ветвь. Поскольку в нашей схеме нет ветвей, содержащих только ЭДС, то заземлять можно любой узел. Пусть j4=0. Тогда система уравнений для определения потенциалов узлов 1-3 имеет вид:

  (1.4) 

где: g11, g22, g33 – собственные проводимости узлов 1-3 (суммы проводимостей всех ветвей, примыкающих к узлам 1-3 соответственно);

 g12= g21 – общая проводимость узлов 1 и 2 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 2);

 g13= g31 – общая проводимость узлов 1 и 3 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 1 и 3);

 g23= g32 – общая проводимость узлов 2 и 3 (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы 2 и 3);

 Jc1 - Jc3 – суммарные узловые токи (алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости ветвей плюс алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях, примыкающих к рассматриваемому узлу).

Для нашего примера

  

  

  

Подставив в (1.4) числовые значения величин, получим систему уравнений, которую, в качестве примера, решим с помощью определителей.

  (1.5)

Главный определитель системы: 

Δ =  = 16;

Дополнительные определители

Δ1=  = -24; Δ2=  =104; Δ3=  = 16;

Находим потенциалы узлов:

φ1 = - 1.5 В, φ2 = = 6.5 В, φ3 = = 1 В.

По закону Ома определяем токи ветвей.

  I1 = = 4 А, 

 I2 =  = -0.5 А, 

I3 =  = 5.5 А, I4 == 1.5 А , 

I5 == 1 А , I6 = =2.5 А.

Правильность расчёта токов можно проверить как составлением баланса мощностей цепи, так и с помощью первого закона Кирхгофа. Для узла 2 нашего примера имеем

-I1-I2-Jк+I3=-4+0.5-2+5.5=0.

Для построения потенциальной диаграммы контура 1-2-4-1 определим потенциалы всех его точек, в том числе и точек а и b (см. рис.1.7).

По-прежнему будем считать, что φ4=0, тогда

φ1=-I4r4=-1.5В; φа= φ1+Е1= -1.5+12=10.5В;  φ2= φa-I1r1=6.5В; φb= φ2+I2r2=8B; φ4= φb-E2=0.

Потенциальная диаграмма представлена на рис.1.8.

Пример 1.3. В схеме цепи рис.1.9 определить токи во всех ветвях методом наложения. Ток в резисторе r3 проверить методом эквивалентного генератора.

Дано: Е1 = 12 В; Jк = 2.4 А; r1 = r2 = r4 = 6 Ом; r3 = 4 Ом,  r5 =10 Ом, 

Решение

Выполнив подготовительную работу (см. рис.1.9), приступаем к расчету.

Полагаем, что в схеме действует только источник тока Jк (рис.1.10). При составлении этой схемы учитываем, что источник ЭДС не обладает внутренним сопротивлением.


Для определения токов  в схеме рис.1.10 целесообразно воспользоваться преобразованием пассивных трёхполюсников и заменить треугольник сопротивлений r1, r2 , r4 эквивалентной звездой (рис.1.11), сопротивления которой :

rа =  = 2 Ом, rb =  = 2 Ом,

rd =  = 2 Ом.

После этого токи могут быть определены по правилу раcпределения токов в параллельные ветви.

 I3` = Jк= 1.6 А,

 I5` = Jк= 0,8 А. 

Ток I1` найдём из уравнения, составленного  по второму закону Кирхгофа:

-r1∙I1`+ r3∙ I3`- r5∙ I5` = 0, откуда 

I1`= = -0,266 А .

Токи I2` и I4` теперь нетрудно найти по первому закону Кирхгофа:

 

I2` = I1`+ I3` = -0,266 + 1,6 = 1,334 А,

I4` = Jк – I2` = 2,4 - 1,334 = 1,066 А.

Теперь полагаем, что в цепи действует только источник ЭДС Е1 (рис.1.12). При составлении этой схемы учитываем, что внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности, что означает разрыв ветви, в которую он был включен. Токи в схеме рис.1.12 рассчитываем по законам Ома и Кирхгофа

 I1``= A,

I2``= I4``= I1``= 0.5185 А,

I3`` = I5``= I1``= 0.4445 А.

Фактические токи в ветвях находим по принципу наложения в соответствии со схемами рис.1.9, 1.10, 1.12.

I1 = I1`+ I1`` = 0.266 + 0.963 = 1.229 А; I2 = I2` - I2`` = 1.334 – 0.5185 = 0.815 А;

I3 = I3`+ I3`` = 1.6 + 0.4445 = 2.044 А; I4 = I4`+ I4`` = 1.066 + 0.5185 =1.585 А; 

I5 = I5`- I5`` = 0.8 – 0.4445 = 0.356 А.

Произведем расчёт тока I3 (рис.1.9) методом эквивалентного генератора.

Прежде всего размыкаем ветвь с сопротивлением r3 и определяем напряжение холостого хода Uх эквивалентного генератора (рис.1.13).

По второму закону Кирхгофа (контур не должен содержать источника тока) запишем:

Uх + r1∙I1х – r5 ∙Jк = Е1,

откуда

Uх = Е1+ r5 ∙Jк- r1∙I1х.

Ток I1х найдем методом узлового напряжения

 В,

 A.

Тогда

Uх = 12 + 10·2.4 + 6·0.133 = 36.8 В.

Определяем входное сопротивление эквивалентного генератора rвх относительно зажимов искомой ветви. С этой целью составляем расчетную схему (рис.1.14), в которой исключены источники энергии и учтено, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, а внутреннее сопротивление источника тока – бесконечности.

Для схемы рис.1.14

rвх =Ом.

Зная Uх и rвх, на основании теоремы об эквивалентном генераторе определяем искомый ток

I3= A.

Результат расчета I3 методом эквивалентного генератора полностью совпадает с ответом, полученным при применении метода наложения. Это свидетельствует о правильности расчета токов.


Расчет токов с применением законов Кирхгофа