ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Курс лекций начало

Пример 5. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.

Решение.  1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно. Поэтому перемещение лодки относительно берега определим по формуле s=vt  (1)

где v скорость лодки относительно берега; t время движения человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное.

Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса * (количества движения). Так как, по условию задачи, система человек — лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по закону сохранения импульса получим Mv mu=0, где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда v=mu/M.

Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т. е. t:=s1/u=(L—s)/u, где s1 — перемещение человека относительно берега.

Подставив полученные выражения v и t в формулу (1), найдем

откуда

s=mL/(m+M).

Заметим, что предположение о равномерности движения человека не является обязательным. В приведенном ниже более общем способе решения задачи такое предположение не используется.

2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра тяжести ** системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещении человека

* В данном случае систему человек — лодка можно считать замкнутой, так как векторная сумма внешних сил, действующих на отдельные тела системы, равна нулю.

** Точнее было бы говорить о центре масс (центре инерции системы). Но в том случае, когда система твердых тел находится в однородном ноле силы тяжести, центр масс и центр тяжести совпадают.


по лодке центр тяжести системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр тяжести системы человек — лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку C1 лодки (рис. 2.6), а после перемещения лодки—через другую ее точку С2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра тяжести О лодки. Как видно из

const

Рис. 2.6

рис. 2.6, в начальный момент точка О находится слева от вертикали на расстоянии a1, а после перехода человека — на расстоянии a2 справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки s=a1+a2. (2)

Для определения a1 и a2 воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки C1 имеем Mga1=mg(l a1), где l первоначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим а1l/(М+т}. Для точки С2 имеем Mga2=mg(L-a2-l), откуда a2=m(L—l)/(М+т).

Подставив выражения a1 и а2, в формулу (2), получим

s=mL/(M+m),

что совпадает с результатом, полученным первым способом.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.
Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники