ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ примеры решения задач начало

Пример 2. На расстоянии l=4 м от источника плоской волны частотой v=440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источ­ника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость J волны считать равной 440 м/с.

Решение. Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

x1=Acos(wtkx). (1)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

x2=Acos{wtk[x+2(lx)]+ p}

После очевидных упрощений получим

x2=As[wtk (2lх)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

x=x1+x2=Acos(wtkx)— Acos[wtk(2lx)].

По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела 1 и 2: первое равномерно со скоростью υ0; другое равноускоренно без начальной скорости. Какой из приведенных графиков правильно описывает зависимость скорости тел от времени движения?

Ответы к тестам

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

x= -2Asink(lx)sin(wtkl).

Так как выражение Asink(lх) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

Aст=|2Asink(lx)|.

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны рав­на нулю: |2Asink(lx)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты xn которых удовлетворяют условию

k (l xn)=np (n=0, 1, 2, ...). (3)

Но k=2p/l, или, так как l=J/v,

k=2pv/J (4) Подставив это выражение k в (3), получим

2pv(l xn)=npJ,

откуда координаты узлов

xn=lnJ/(2v).

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов:

x0=4 м, x1=3,61 м, x2=3,23 м.

Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(lх')=2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х'n которых удовлетворяют условию k(l х'n)=(2n+1)(p/2) (п=0, 1, 2, 3, ...). Выразив здесь k по (4), получим

4vх'n =4vl—(2n+1)J,

откуда координаты пучностей

х'n=l—(2n+l)J/(4v).

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координа­ты первых трех пучностей:

х'0=3,81 м, х'1=3,42 м, х'2 =3,04 м.

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены коор­динаты х0,, х1, х2 , ... узлов и координаты х'0, х'1, х'2 ... пуч­ностей стоячей волны.

Рис. 7.3

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины - сила и масса.
Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники