ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ примеры решения задач начало

Пример 3. Найти выражение для потенциальной энергии П гра­витационного взаимодействия Земли и тела массой m, находящегося на расстоянии r от центра Земли за пределами ее поверхности. По­строить график П(r).

Решение. Потенциальная энергия в поле консервативных сил (гра-

витационные силы консервативны) связана с силой следую­щим соотношением:

* Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, беско­нечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю

где i, j, k — единичные векторы осей координат (орты);  —частные производные потенциальной энергии по соот­ветствующим координатам. В случае, когда поле сил обладает сфе­рической симметрией, это выражение упрощается. Если ось х совместить с радиусом-вектором r, направленным по радиусу сферы,

то  и   обращаются в нуль и тогда . Так как ве-­
кторы r и i совпадают (рис. 4.3) и П зави-­
сит только от r, то

 (1)
Запишем в векторной форме закон все­ мирного тяготения:

 

 

 Рис.4.3   (2)

где G — гравитационная постоянная; М — масса Земли.

Сравнивая выражения (1) и (2), найдем  откуда

Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим

где С — постоянная интегрирования.

Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой произволь­ной постоянной.

1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль. В этом случае запишем

 

Соответствующая зависимость П(r) изображается графиком, представленным на рис. 4.4.

2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на

поверхности Земли, то и тогда

Но так как r=R+h, где h — высота тела над поверхностью Земли, то

Если , то , или, так как,

Система отсчета. Под системой отсчета понимается совокупность системы координат и часов. Понятие системы отсчета, включает в себя пространственно-временную характеристику положения тела, при этом пространственная характеристика дается с помощью координат, а временная - с помощью часов.
Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники