ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ примеры решения задач начало

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Основные формулы

Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

,

где  — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки 

J=mr2,

где т — масса точки; r расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где  — масса i-го элемента тела; ri — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела 

Если тело однородно, т. е. его плотность  одинакова по всему объему, то

dm=dV и

где V — объем тела.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело

Ось, относительно которой определяется момент инерции

Формула момента инерции

Однородный тонкий стержень массой т и длиной l

 

Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу

 

Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R

Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню

Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню

Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания

 

Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания

Проходит через центр шара

1/12ml2

 

1/3ml2

 

 

mR2

 

 

 

1/2mR2

 

2/5mR2


Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J0+ma2,

где J0 момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m масса тела.

Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=J.

Закон сохранения момента импульса

где Li момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где — начальный и конечный моменты инерции;  —• начальная и конечная угловые скорости тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Mdt=d(J), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;

J момент инерции тела;  — угловая скорость; J момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

Мt=J.

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

M=J, где  — угловое ускорение.

Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mj,

где j угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

T=1/2J.


Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T==1/2mv2+l/2J,

где l/2mv2 кинетическая энергия поступательного движения тела; v скорость центра инерции тела; l/2J,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

.

Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

 


Основной закон динамики

Ft=mv2mv1;  Mt=J—J;

F = та М = .J

Закон сохранения

импульса момента импульса

 

Работа и мощность

A=Fs;  А=М,

N=Fv  N=M

Кинетическая энергия

Т =1/2 mv2 T=1/2J

Классическая механика или механика Ньютона изучает движение тел, которое состоит в перемещении тел или их частей друг относительно друга. Механику можно разделить на два раздела: кинематику и динамику. Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение. Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами ( взаимодействиями между телами), которые обуславливают тот или иной характер движения.
Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники