Дифференциальные уравнения при решении задач

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

 Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения при решении физических задач

  Тело охладилось за 10 минут от 100 до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°?

  Для остановки судов у причала с них бросают швартовый канал, который наматывают на кнехт (столб), стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг кнехта, коэффициент трения каната о кнехт равен k = 1/3 и рабочий на пристани тянет свободный конец каната с силой 10кг?

  Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива m, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и силой сопротивления воздуха (формула Циолковского).

Решить однородное уравнение

 Решить однородное уравнение

Решить линейное уравнение первого порядка

  Решить уравнение

Решить уравнение в полных дифференциалах

  Решить уравнение

  Решить уравнение 2xydx+(x2 – y2)dy = 0.

 Решить уравнение (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0.

Дифференциальное уравнение единственность решения

Указать какой-нибудь интервал, на котором существует решение задачи Коши y¢ = x + y3, y(0) = 0; x0 = 0, y0 = 0.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

  Решить уравнение yy¢¢ + y¢2 = 0.

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

  Найти особое решение уравнения F(x, y, y¢) = xy¢ 2 – 2yy¢ + x = 0.

Решить уравнение x = y¢ 3 + y¢.

Найти решение краевой задачи

у¢¢ + у = 1, у(0) = 0, у(p/2) = 0.

Решение дифференциаоьного линейного уравнения с переменными коэффициентами

Зная два частных решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, найти его общее решение:

(x2-1)y¢¢ + 4xy¢ + 2y = 6x, yчн1 = x, yxy2 = (x2 +x + 1) / (x + 1). (*)

Решение дифференциального линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Метод вариации произвольных постоянных. Решить уравнение

  Явление резонанса. y¢¢¢ + y¢ = Sinx.

  Случай отсутствия резонанса.

  Найти общее решение уравнения 2y¢¢ - 5y¢ + 2y = 0.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

 Решить уравнение y¢¢2 = y¢ + 1.

Исследовать устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения

y¢¢¢ + 2y¢¢ + 2y¢ + 3y = 0.

Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение системы

Линейные системы дифференциальных уравнений

 Решить систему:  , А =  .

Решить краевую задачу на собственные значения

Решить краевую задачу на собственные значения: у¢¢ = lу, у(0) = 0, у(1) = 0.

Построить функцию Грина и записать решение краевой задачи

у¢¢ + у¢ = arcsinx, у(0) = 0, у¢ (1) = 0.

Особые точки дифференциального уравнения

  Исследовать особую точку, начертить проекции интегральных кривых на плоскости (х, у)

Фазовая плоскость

Начертить фазовую кривую уравнения

Начертить фазовую траекторию уравнения

Начертить фазовые траектории уравнения

Нелинейные дифференциальные уравнения

  Решить систему

Дифференциальные уравнения в частных производных

  Найти общее решение уравнения

Решить уравнение

Решить уравнение

  Решить задачу Коши  y = 1.

  Решить задачу Коши

 

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

 

Эта работа знакомит с различными методами решения линейных и нелинейных краевых задач. Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке.

Простейшим представителем краевой задачи является двухточечная граничная задача, для которой граничные условия задаются в двух точках, как правило, на концах интервала, на котором ищется решение. Двухточечные граничные задачи встречаются во всех областях науки и техники. На примерах таких задач и будет рассмотрено применение методов, обсуждаемых в настоящей работе. В случае задания краевых условий в более общем виде использование этих методов не представит принципиальных затруднений.

2. Теоретическая справка

2.1. Пример краевой задачи

Примером двухточечной краевой задачи является задача:

          

                                                                                                           (8.1)

с граничными условиями на обоих концах отрезка  на котором надо найти решение  На этом примере мы схематически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

Если функция  в (8.1) линейна по аргументам у и  то мы имеем линейную краевую задачу, иначе — нелинейную краевую задачу.

2.2. Линейная краевая задача

Рассмотрим частную, но довольно распространенную краевую задачу следующего вида:

              

                                                                                                           (8.2)

Для этой задачи проиллюстрируем два способа решения: один основан на идее численного построения общего решения линейного дифференциального уравнения, другой (конечно-разностный) сводит исходную дифференциальную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений, решение которой находится методом прогонки.

2.3. Метод численного построения общего решения

Для нахождения решения краевой задачи (8.2) можно численно построить решение дифференциального уравнения, представимое в виде

где  — какое-либо решение неоднородного уравнения

а  и  — два любые линейно независимые решения однородного уравнения  Постоянные  и  находятся из граничных условий задачи (8.2).

Так как решения    произвольны, то их можно построить различными способами. Например, можно задать какие-то начальные условия и решить одну задачу Коши для неоднородного и две задачи Коши для однородного уравнений. Эти условия, в частности, могут быть такими:

      — для неоднородного уравнения;

      

       — для однородного уравнения.

Однако при реализации этого способа, например, в случае  для рассматриваемого уравнения могут возникнуть трудности, связанные с неустойчивостью задачи Коши. В этом случае можно попытаться построить    с помощью решения одной краевой задачи для неоднородного уравнения и двух краевых задач для однородного уравнения. Краевые условия для этих задач могут быть, например, следующими:

      — для неоднородного уравнения;

      

       — для однородного уравнения.

Эти задачи могут быть решены методом прогонки. Условия устойчивости метода прогонки при  как легко проверить, выполнены. Этот подход может оказаться полезным, если краевые условия таковы, что для исходной задачи (8.2) метод прогонки применен быть не может.

Отметим, что с учетом специфики краевых условий исходной задачи можно строить общее решение вида

где  — некоторое решение неоднородного уравнения, а  — некоторое решение однородного уравнения.

2.4. Конечно-разностный метод (метод прогонки)

При нахождении решения линейной краевой задачи:

          

        

для  методом построения общего решения, если оно находится с помощью решения задач Коши, могут возникнуть трудности, связанные с вычислительной неустойчивостью задачи Коши.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться разностной схемой:

                          

и решить разностную задачу методом прогонки. Условия применимости метода прогонки при  как легко проверить, выполнены. Подробнее о методе прогонки см. в [1–4, 17, 31]. В [17] рассмотрены различные варианты метода прогонки.

2.5. Нелинейная краевая задача

Краевая задача

          

                                                                                                            (8.3)

является нелинейной краевой задачей, если функция  нелинейна хотя бы по одному из аргументов y или

В настоящей работе реализованы два способа решения нелинейных краевых задач: метод стрельбы и метод линеаризации (метод Ньютона), который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач.

2.6. Метод стрельбы

Text Box:  
Рис. 8
Метод стрельбы для решения краевой задачи (8.3) базируется на том, что имеются удобные способы численного решения задачи Коши, т. е. задачи следующего вида

 

                              (8.4)

где  — ордината точки  из которой выходит интегральная кривая;  — угол наклона интегральной кривой к оси x при выходе из точки  (рис. 8). При фиксированном  решение задачи (8.4) имеет вид  При  решение  зависит только от :

Используя указанное замечание о решении задачи Коши (8.4), можно задачу (8.3) переформулировать следующим образом: найти такой угол  при котором интегральная кривая, выходящая из точки  под углом  к оси абсцисс, попадет в точку

                                                                                      (8.5)

Text Box:  
Рис. 9
Решение задачи (8.4) при этом  совпадает с искомым решением задачи (8.3). Таким образом, дело сводится к решению уравнения (8.5) (рис. 9). Уравнение (8.5) — это уравнение вида

где

Оно отличается от привычных уравнений лишь тем, что функция  задана не аналитическим выражением, а с помощью алгоритма численного решения задачи (8.4).

Для решения уравнения (8.5) можно использовать любой метод, пригодный для уточнения корней нелинейного уравнения, например, метод деления отрезка пополам, метод Ньютона (касательных) и др. Метод Ньютона здесь предпочтительнее (если имеется достаточно хорошее начальное приближение) из-за высокой стоимости вычисления одного значения функции F() (нужно решить задачу Коши (8.4) с данным ).

Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи (8.3) к вычислению решений задачи Коши (8.4), хорошо работает в том случае, если решение  «не слишком сильно» зависит от . В противном случае он становится вычислительно неустойчивым, даже если решение задачи (8.3) зависит от входных данных «умеренно».

При решении уравнений  методом деления отрезка пополам, мы задаем  и  так, чтобы разности  и  имели разные знаки. Затем полагаем

Вычисляем  Затем вычисляем  по одной из формул:

              или              

в зависимости от того, имеют ли разности  и  соответственно разные или одинаковые знаки. Затем вычисляем  Процесс продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность

В случае использования для решения уравнения  метода Ньютона задаем  а затем последующие  вычисляем по рекуррентной формуле

             n = 0, 1, …

Производная  может быть вычислена по одной из формул численного дифференцирования, например, первого порядка аппроксимации:

2.7. Вычислительная неустойчивость задачи Коши

Поясним причину возникновения вычислительной неустойчивости на примере следующей линейной краевой задачи:

            

                                                                                                          (8.6)

при постоянном  Выпишем решение этой задачи:

Коэффициенты при  и  с ростом р остаются ограниченными на отрезке  функциями; при всех  они не превосходят единицу. Поэтому небольшие ошибки при задании  и  ведут к столь же небольшим погрешностям в решении, т. е. краевая задача является «хорошей».

Рассмотрим теперь задачу Коши:

             

                                                                                                  (8.7)

Ее решение имеет вид:

Если при задании  допущена погрешность , то значение решения при  получит приращение

                                                            (8.8)

При больших р вычитаемое в равенстве (8.8) пренебрежимо мало, но коэффициент в первом слагаемом  становится большим. Поэтому метод стрельбы при решении задачи (8.6), будучи формально приемлемой процедурой, при больших р становится практически непригодным. Подробнее о возникновении неустойчивостей см. [1, 2].

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники