Свойства комплексных чисел

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Построение поля комплексных чисел

Пусть $ {z_1=2-3i}$ , $ {z_2=1+4i}$ .

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Изобразим на комплексной плоскости числа $ {z_1=2+i}$ , $ {z_2=3i}$ , $ {z_3=
-3+2i}$ , $ {z_4=-1-i}$ ,

Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: $ {z_1=-1+i}$ , $ {z_2=4}$ , $ {z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , $ {z_4=5i}$ , $ {z_5=-2-3i}$

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$

Вычислите $ z^6$ , если $ {z=1-i}$

Показательная форма комплексного числа

Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .

Извлечение корня из комплексного числа

Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .

Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и , ; кроме того

Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:

если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

 Пример:

 

 Если a = 1, то

 Следовательно, при a < 1 интеграл

 Аналогично определяется несобственный интеграл, если

 

Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть :  и существует предел:

Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.

 Пример:

  

 Если a = 1, то

Следовательно, несобственный интеграл

 

Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: и несобственный интеграл  сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл .

Доказательство: В силу сходимости  по критерию Коши для функции , выполняется неравенство . Но тогда, ввиду неравенств:  аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.

Следовательно, по критерию Коши существует предел:

, т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл  расходится, то расходится и несобственный интеграл .

Эйлеровы интегралы G(a) и B(a, b).

Определим функцию G(a) равенством:

.

Покажем, что интеграл сходится при a > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

 

и докажем сходимость каждого из этих интегралов при a > 0.

Обозначим  и .

Если xÎ(0, 1], то: . Так как интеграл , как это было доказано выше сходится при 1 - a< 1, т.е. при a>0, то по признаку сравнения интеграл  сходится при a>0. Если xÎ[1, + ) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: .

 Заметим, что , т.е. этот интеграл сходится при любых aÎR. Следовательно, функция Эйлера G(a) = G1(a) + G2(a) определена для всех a>0.

Далее, определим функцию B(a, b) =  и докажем, что эта функция определена для любых a>0 и b>0.

Обозначим:  и .

Если xÎ(0, 1/2], то . Интеграл  сходится по признаку сравнения 1 - a<1, т.е. при a>0 и при любых значениях b. Заметим, что, если в интеграле B2(a, b) сделать замену t = 1 – x, то мы B1(b, a), который, как мы выяснили, сходится при b>0 и при любых a.

Следовательно, функция Эйлера B(a, b) = B1(a, b) + B2(a, b) определена для любых a>0 и b>0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:

G(1) = 1

G(a + 1) = aG(a),  a>0

G(n + 1) = n!, nÎN

G(a)G(1 - a) = , 0<a<1

G(1/2) =

B(a, b) =

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники