Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически 

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

    Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах 

Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами .

Вычислить длину дуги полукубической параболы

Вычислить длину дуги астроиды .

Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и 

 

    Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически 

Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до .

Вычислить длину астроиды:, .

Вычислить длину дуги эллипса .

Найти  площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью .
Warning: require_once(/pub/home/andrekon21/fishelp/e69027293a254dad2c6f576c5395905eb8f3455a/linkfeed.php) [function.require-once]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/fishelp/49.php on line 3

Fatal error: require_once() [function.require]: Failed opening required '/pub/home/andrekon21/fishelp/e69027293a254dad2c6f576c5395905eb8f3455a/linkfeed.php' (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/fishelp/49.php on line 3

Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами  и . Формула Ньютона-Лейбница.

 И.Ньютон (1643-1727)  Г.Лейбниц (1646-1716)

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной выше связи между неопределенным и определенным интегралом.

Выше было установлено, что функция , непрерывная на , имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них является функция

 

Пусть - любая другая первообразная для функции  на этом же отрезке . Так как первообразные  и  отличаются на постоянную, то имеем = +с, ,

Подставляя в это равенство значение х=а, получим

=+с, 0=+с, с= - .

Т.е. для любого

 =

Полагая х=в, получим основную формулу интегрального исчисления

 

 

 (3)

которая называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность  принято условно записывать в виде

 ,

поэтому формулу (3) можно записать в виде

  

 

 (4)

Подчеркнем, что в формуле (3) в качестве  можно взять любую первообразную для  на отрезке .

Формула (3) дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, т.к. задача вычисления определённого интеграла, сводится к задаче вычисления неопределённого интеграла.

Пример:

   

3. Вычисление определённого интеграла: интегрирование подстановкой и по частям.

 

п.1. замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Пусть дан интеграл , где -  непрерывна на отрезке .

 Введем новую переменную  по формуле . Если:

 1) ,

 2)  и  непрерывны на отрезке

 3)  определена и непрерывна на , то

 

 = (5) 

Доказательство: Если  есть первообразная для , то  (6) 

 = (7)

Из равенства (6) получим

 
 

а из равенства (7)

 =

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.ч.т.д.

Формула (5) называется формулой замены переменной или подстановкой в определённом интеграле.

Пример: Вычислить 1)

==

=.

2) 

 =

 п.2 интегрирование по частям.

 Если функции  имеют непрерывные производные на отрезке , то можно доказать, что

  (8)

Формула (8) называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пример: Вычислить 1) 

=.

 

 2)

Заключение.

Только с открытием формулы Ньютона – Лейбница важнейшее в математическом анализе понятие определённого интеграла нашло то большое значение в математике и её приложениях, какое оно имеет в настоящее время. Эта формула значительно расширила область применения определённого интеграла: благодаря этой формуле стало возможным решение многих задач геометрии, механики, физики и техники единым методом.

Вычисление определенного интеграла.

Замена переменных.

Пример.

 При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

 Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2).


 Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

 с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 По формуле Симпсона получим:

 m

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 x

 -2

 -1

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 f(x)

2.828

3.873

 4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 Точное значение этого интеграла – 91.173.

  Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

 Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.


Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

 Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

 Итак:

Итого, получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…


Несобственные интегралы.

 

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

 

Пример.

 - интеграл сходится


Применение интеграла

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

 Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

Вычисление длины дуги кривой.

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Вычисление объемов тел.

 Пример: Найти объем шара радиуса R.

 y

 

 R y

 -R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники