Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически 

    Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах 

Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами .

Вычислить длину дуги полукубической параболы

Вычислить длину дуги астроиды .

Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и 

 

    Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически 

Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до .

Вычислить длину астроиды:, .

Вычислить длину дуги эллипса .

Найти  площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью .

Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами  и . Формула Ньютона-Лейбница.

 И.Ньютон (1643-1727)  Г.Лейбниц (1646-1716)

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной выше связи между неопределенным и определенным интегралом.

Выше было установлено, что функция , непрерывная на , имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них является функция

 

Пусть - любая другая первообразная для функции  на этом же отрезке . Так как первообразные  и  отличаются на постоянную, то имеем = +с, ,

Подставляя в это равенство значение х=а, получим

=+с, 0=+с, с= - .

Т.е. для любого

 =

Полагая х=в, получим основную формулу интегрального исчисления

 

 

 (3)

которая называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность  принято условно записывать в виде

 ,

поэтому формулу (3) можно записать в виде

  

 

 (4)

Подчеркнем, что в формуле (3) в качестве  можно взять любую первообразную для  на отрезке .

Формула (3) дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, т.к. задача вычисления определённого интеграла, сводится к задаче вычисления неопределённого интеграла.

Пример:

   

3. Вычисление определённого интеграла: интегрирование подстановкой и по частям.

 

п.1. замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Пусть дан интеграл , где -  непрерывна на отрезке .

 Введем новую переменную  по формуле . Если:

 1) ,

 2)  и  непрерывны на отрезке

 3)  определена и непрерывна на , то

 

 = (5) 

Доказательство: Если  есть первообразная для , то  (6) 

 = (7)

Из равенства (6) получим

 
 

а из равенства (7)

 =

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.ч.т.д.

Формула (5) называется формулой замены переменной или подстановкой в определённом интеграле.

Пример: Вычислить 1)

==

=.

2) 

 =

 п.2 интегрирование по частям.

 Если функции  имеют непрерывные производные на отрезке , то можно доказать, что

  (8)

Формула (8) называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пример: Вычислить 1) 

=.

 

 2)

Заключение.

Только с открытием формулы Ньютона – Лейбница важнейшее в математическом анализе понятие определённого интеграла нашло то большое значение в математике и её приложениях, какое оно имеет в настоящее время. Эта формула значительно расширила область применения определённого интеграла: благодаря этой формуле стало возможным решение многих задач геометрии, механики, физики и техники единым методом.

Вычисление определенного интеграла.

Замена переменных.

Пример.

 При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

 Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2).


 Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

 с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 По формуле Симпсона получим:

 m

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 x

 -2

 -1

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 f(x)

2.828

3.873

 4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 Точное значение этого интеграла – 91.173.

  Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

 Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.


Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

 Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

 Итак:

Итого, получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…


Несобственные интегралы.

 

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

 

Пример.

 - интеграл сходится


Применение интеграла

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

 Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

Вычисление длины дуги кривой.

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Вычисление объемов тел.

 Пример: Найти объем шара радиуса R.

 y

 

 R y

 -R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники