Применение интегралов при вычисление объема тела

    Вычисление объема тела

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой: ;

Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой   фигуры, ограниченной параболой  и  прямой 

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами  и .

 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой  и прямой 

Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой , вращается вокруг оси Оу

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат и параболой 

На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h.

Оси двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными  , пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих двух цилиндров.

Определить объем эллипсоида

Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

     

     

    Задачи:

    Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы а) прямоугольников, б) трапеций, в) Симпсона. Величину шага выбрать заранее, сделав вручную оценку погрешности через вторую (случаи а,б) или четвертую (случай в) производные. Сравним с точным значением интеграла

    1.(а)  2.(б)  3.(в)

    4.(а)  5.(б)  6.(в)

    7.(а)  8.(б)  9.(в)

    10.(а)  11.(б)  12.(в)

    13.(а)  14.(б)  15.(в)

    16.(а)  17.(б)  18.(в)

    19.(а)  20.(б)  21.(в)

    22.(а)  23.(б)  24.(в)

    Вычисление определенных интегралов.

    Введение.

    Вычисление определённого интеграла методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями даже в простейших случаях. Поэтому естественно возникает задача: найти другой практически более удобный и лёгкий метод вычисления определённого интеграла. Такой метод существует и, как мы увидим, основан на тесной связи, существующей между понятиями неопределённого (первообразной) и определённого интегралов.

    Эта связь устанавливается формулой Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница позволяет трудоёмкую задачу о вычислении предела интегральной суммы свести к более лёгкой в ряде случаев задаче отыскания первообразной для подынтегральной функции. Эта формула, по существу, устанавливает тесную связь между двумя фундаментальными разделами математического анализа – дифференциальным исчислением (куда и относится понятие первообразной) и интегральным исчислением. Эта связь впервые была установлена Ньютоном и Лейбницем. Именно поэтому формулу назвали формулой Ньютона – Лейбница.

    1. Производная интеграла по переменному верхнему пределу.

    До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и в. Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы , то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.

    Рассмотрим итеграл   

    ( для удобства переменную интегрирования обозначим через t, т.к. х-верхний предел интегрирования). Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х.

    Положим  (1)

    И назовем ее интегралом с переменным верхним пределом.

    Геометрически функция  представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции, если >0. Очевидно, что эта площадь изменяется от изменения х.

    Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

      (2)

    Дано: - непрерывна на

    Доказать:

    Доказательство:

    Возьмем любое значение  и придадим ему приращение  такое, чтобы . Тогда функция , определенная выражением (1) получит новое значение

     

     ==+ (согласно свойству аддитивности).

    Находим приращение функции .

     =-=+-=

    К полученному интегралу применим теорему о среднем, получим

     ==

    где

    Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

     

    если , то  и тогда, в силу непрерывности функции  на  . Поэтому, переходя к пределу при  в последнем равенстве, получим

      или

    Таким образом, установлено, что любая непрерывная на отрезке  функция  имеет на этом отрезке первообразную, причем функция - интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для .

    А так как всякая другая первообразная для функции  может отличаться от  только на постоянную, то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде

     

     

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники