Применение интегралов при вычислении площади в полярных координатах

Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и .

Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной кривой 

Найти  площадь петли декартова листа .

Найти  площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и 

Квадратурная формула трапеций.

купить прогнозы

Введем сетку также, как в пункте 1.

 При этом h=0.2, N=10 по квадратурной формуле трапеции:

При этом оценка погрешности составляет:

 

При сравнении точного и полученного значения интеграла разность  значительно меньше погрешности 0,66666 , что говорит о явно завышенной оценке.

Квадратурная формула Симпсона.

Введем сетку как в пункте 1. Пусть h=0.2, n=10.

Чтобы не использовать дробные индексы, обозначим , ,  и записываем формулу Симпсона в виде:

 

Вычислим интеграл по квадратурной формуле Симпсона:

Оценка погрешности этой формулы:

Сравнение точного значения интеграла с полученным дает разность . Эта разность меньше погрешности. Можно сказать, что в данном случае оценка также завышена.

Пример2:

Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла  с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Оценку погрешности для каждой квадратурной формулы будем брать из примера 1 соответственно.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге h погрешность будет составлять 0,01:

  

При шаге  отрезок  разбивается на N=80 равностоящих узлов.

Квадратурная формула трапеций.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:

   

При шаге ,отрезок  разбивается на N=118 равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:

   

При шаге , отрезок  разбивается на N=40 равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов N=40 получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования.

Пусть - квадратурная формула, примененная на частичном отрезке и имеющая порядок m, то есть . Для формул прямоугольников и трапеций m = 3, а для формулы Симпсона m = 5. Проведем на каждом частичном отрезке  все вычисления дважды, один раз с шагом , другой раз с шагом . Тогда справедлива оценка:

 

Если для заданного  правая часть не превосходит , то получим:

 

то есть будет достигнута заданная точность .

Если же на каком-то из частичных отрезков эта оценка не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Заметим, что для некоторых функций такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений, а также возможность увеличения .

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники