Применение интегралов при вычислении площади в полярных координатах

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и .

Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной кривой 

Найти  площадь петли декартова листа .

Найти  площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и 

Квадратурная формула трапеций.

купить прогнозы

Введем сетку также, как в пункте 1.

 При этом h=0.2, N=10 по квадратурной формуле трапеции:

При этом оценка погрешности составляет:

 

При сравнении точного и полученного значения интеграла разность  значительно меньше погрешности 0,66666 , что говорит о явно завышенной оценке.

Квадратурная формула Симпсона.

Введем сетку как в пункте 1. Пусть h=0.2, n=10.
Warning: require_once(/pub/home/andrekon21/fishelp/e69027293a254dad2c6f576c5395905eb8f3455a/linkfeed.php) [function.require-once]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/fishelp/49.php on line 3

Fatal error: require_once() [function.require]: Failed opening required '/pub/home/andrekon21/fishelp/e69027293a254dad2c6f576c5395905eb8f3455a/linkfeed.php' (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/fishelp/49.php on line 3

Чтобы не использовать дробные индексы, обозначим , ,  и записываем формулу Симпсона в виде:

 

Вычислим интеграл по квадратурной формуле Симпсона:

Оценка погрешности этой формулы:

Сравнение точного значения интеграла с полученным дает разность . Эта разность меньше погрешности. Можно сказать, что в данном случае оценка также завышена.

Пример2:

Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла  с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Оценку погрешности для каждой квадратурной формулы будем брать из примера 1 соответственно.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге h погрешность будет составлять 0,01:

  

При шаге  отрезок  разбивается на N=80 равностоящих узлов.

Квадратурная формула трапеций.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:

   

При шаге ,отрезок  разбивается на N=118 равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:

   

При шаге , отрезок  разбивается на N=40 равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов N=40 получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования.

Пусть - квадратурная формула, примененная на частичном отрезке и имеющая порядок m, то есть . Для формул прямоугольников и трапеций m = 3, а для формулы Симпсона m = 5. Проведем на каждом частичном отрезке  все вычисления дважды, один раз с шагом , другой раз с шагом . Тогда справедлива оценка:

 

Если для заданного  правая часть не превосходит , то получим:

 

то есть будет достигнута заданная точность .

Если же на каком-то из частичных отрезков эта оценка не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Заметим, что для некоторых функций такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений, а также возможность увеличения .

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники