Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

 

Найти площадь петли кривой: ; .

Вычислить  площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:   ;  

Вычислить  площадь фигуры, ограниченной кривой .

Найти площадь астроиды  

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

     

Лабораторная работа №6.

Численное интегрирование.

Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида:

 

Где - вещественная функция некоторого класса, заданная на любом конечном или бесконечном отрезке числовой оси ;

 - некоторая фиксированная функция, которую называют весовой.

Довольно часто приближенное значение данного интеграла ищут в виде линейной комбинации значений функции  на отрезке :

 

Это приближенное равенство называют квадратурной формулой, определяемой узлами  и коэффициентами .

  

- называют остаточным членом, или остатком квадратурной формулы.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами применяются для вычисления интеграла:

 

с постоянной весовой функцией и конечным отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке  задана функция. Введем сетку, разбивающую отрезок  на N равностоящих узлов.

Где  , шаг и обозначим

 

Выберем на каждом сегменте серединную точку  и обозначим

Квадратурная формула прямоугольников имеет вид:

 

Если функции  непрерывны на отрезке , то остаточный член имеет вид:

   , где  

 Квадратурная формула трапеций имеет вид:

 

Или

 

Если функции  непрерывны на , то остаточный член представляется в виде:

  ,где 

Выберем на каждом сегменте серединную точку  и обозначим

 Квадратурная формула Симпсона имеет вид:

 


Также можно взять удвоенный частичный отрезок, обозначив ,  и .

В результате получим другой вариант формулы Симпсона:

При этом, если функция  имеет на отрезке  непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то остаточный член имеет вид:

  , где 

Решая неравенство  относительно h для остаточных членов любой из квадратурных формул и делая вычисления с таким шагом, получаем заданную точность  вычисления.

Пример1:

Вычислить интеграл  по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, сравнить с точным значением интеграла и вычислить остаточный член для каждой формулы

Точное значение интеграла:

 

Квадратурная формула прямоугольников

Для вычисления интеграла введем сетку, разделяющую отрезок  на n=10 частей, при этом h=0,2. Выберем на каждом сегменте  срединную точку

Применяя квадратурную формулу прямоугольников получаем:

Оценим погрешность по общей формуле.

Поскольку   , 

 то  

При сравнении точного значения интеграла и полученного имеем разницу . Сравнивая эту разницу с погрешностью, можно сказать, что оценка явно завышена.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники