Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)

 

Найти площадь петли кривой: ; .

Вычислить  площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:   ;  

Вычислить  площадь фигуры, ограниченной кривой .

Найти площадь астроиды  

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

     

Лабораторная работа №6.

Численное интегрирование.

Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида:

 

Где - вещественная функция некоторого класса, заданная на любом конечном или бесконечном отрезке числовой оси ;

 - некоторая фиксированная функция, которую называют весовой.

Довольно часто приближенное значение данного интеграла ищут в виде линейной комбинации значений функции  на отрезке :

 

Это приближенное равенство называют квадратурной формулой, определяемой узлами  и коэффициентами .

  

- называют остаточным членом, или остатком квадратурной формулы.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами.

Квадратурные формулы с равностоящими узлами применяются для вычисления интеграла:

 

с постоянной весовой функцией и конечным отрезком интегрирования.

Пусть на отрезке  задана функция. Введем сетку, разбивающую отрезок  на N равностоящих узлов.

Где  , шаг и обозначим

 

Выберем на каждом сегменте серединную точку  и обозначим

Квадратурная формула прямоугольников имеет вид:

 

Если функции  непрерывны на отрезке , то остаточный член имеет вид:

   , где  

 Квадратурная формула трапеций имеет вид:

 

Или

 

Если функции  непрерывны на , то остаточный член представляется в виде:

  ,где 

Выберем на каждом сегменте серединную точку  и обозначим

 Квадратурная формула Симпсона имеет вид:

 


Также можно взять удвоенный частичный отрезок, обозначив ,  и .

В результате получим другой вариант формулы Симпсона:

При этом, если функция  имеет на отрезке  непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то остаточный член имеет вид:

  , где 

Решая неравенство  относительно h для остаточных членов любой из квадратурных формул и делая вычисления с таким шагом, получаем заданную точность  вычисления.

Пример1:

Вычислить интеграл  по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, сравнить с точным значением интеграла и вычислить остаточный член для каждой формулы

Точное значение интеграла:

 

Квадратурная формула прямоугольников

Для вычисления интеграла введем сетку, разделяющую отрезок  на n=10 частей, при этом h=0,2. Выберем на каждом сегменте  срединную точку

Применяя квадратурную формулу прямоугольников получаем:

Оценим погрешность по общей формуле.

Поскольку   , 

 то  

При сравнении точного значения интеграла и полученного имеем разницу . Сравнивая эту разницу с погрешностью, можно сказать, что оценка явно завышена.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники