Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей в декартовых координатах

Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и   

Подпись:  .

Решение. Найдем абсциссу точки А пересечения параболы

  с окружностью .

Исключив у из системы уравнений

получим ,  откуда находим единственный положительный корень . Аналогично находим абсциссу точки D пересечения окружности  и параболы ; .

Таким образом, интересующая нас площадь равна

,

где , .

По свойству аддитивности интеграла

=

=

=.

Здесь мы воспользовались известной формулой тригонометрии

.

Определенный интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, ¼, xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x1], [x1;x2], ¼ [xn-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1Î[a;x1], c2Î[x1;x2], ¼ cnÎ[xn-1;b].

Введем обозначения: Dx1 = x1 – a; Dx2 = x2 – x1; ¼ Dxn = b – xn-1.

Составим сумму:

  .

Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.

Каждое слагаемое интеграль­ной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: l = max(Dxi), i = 1, 2, ¼ n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом

 

от функции  по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

 .

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегриро­вания.

 

Справочник