Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Найти  площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью .

 Р е ш е н и е. Здесь граница фигуры  состоит из дуги циклоиды  и отрезка  оси  . Применим формулу . Так как на отрезке оси  имеем  то остается вычислить интеграл (с учетом направления обхода  границы):

Способ подстановки (замены переменных).

 

  Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

  Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[(t)](t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

  Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

  Пример.

Замена  Получаем:

  Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Справочник