Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Вычислить длину астроиды:, .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

;

.

Отсюда

.

Так как функция  имеет период , то

.

  Замечание. Если бы мы забыли, что нужно брать арифметическое значение корня, и положили  то получили бы не­верный результат, так как

.

Интегрирование выражений, рациональных относительно тригонометрических функций.

Пусть требуется найти интеграл вида:

.

Подынтегральное выражение может быть рационализовано заменой:

,

которую называют универсальной тригонометрической подстановкой.

Действительно:

,

,

, ,

поэтому:

.

Таким образом, интегралы указанного вида всегда берутся в конечном виде, выражаясь через рациональные и тригонометрические функции, логарифмы и арктангенсы.

Универсальная тригонометрическая подстановка зачастую приводит к сложным выкладкам. В отдельных случаях интегралы удается взять при помощи более простых замен. Так, если sinx и cosx входят в подынтегральное выражение только в четных степенях, то удобной оказывается замена u=tgx. Если требуется взять интеграл вида

,

то при нечетном m удобна замена u=cosx, при нечетном n – замена u=sinx. Последний интеграл может быть также взят многократным интегрированием по частям.

Пример. Используя универсальную тригонометрическую подстановку, вычислить интеграл .

.

 

Справочник