Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

,

откуда .

Следовательно,

.

Интегрирование дифференциальных биномов.

Дифференциальным биномом называется выражение вида:

,

где a и b – произвольные постоянные; m, n, p – рациональные числа.

Если p целое, то обозначая через q наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, придем к выражению, рациональному относительно . В этом случае интеграл

может быть взят заменой .

Пусть  и имеет вид , где . Пусть также  – целое число. Выполним замену:

.

Тогда:

, .

Обозначив  (), придем к интегралу:

.

Подынтегральное выражение рационализовано.

Пусть  — целое число. Обозначим u=xn; исходный интеграл можно записать в виде:

.

Поэтому подынтегральное выражение может быть рационализовано заменой .

Таким образом, если целым оказывается одно из чисел: p,  или , то интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях. Можно показать, что во всех остальных случаях указанный интеграл в конечном виде не берется.

 

Справочник