Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и  (рис.5.2). 

 

Подпись:                   Рис.5.2

  Р е ш е н и е. Достаточно вычислить длины дуг  и , так как в силу симметрии фигуры относительно оси Ох

.

  Решив систему уравнений 

найдем точку А(2, 4).

 Найдем . Здесь

.

Следовательно,

.

  Так как  есть длина дуги окружности радиуса , соответ­ствующей центральному углу arctg 2 , то

  Окончательно имеем

   Пример:

Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.

  Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

  Теорема: Если   - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

  При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

  Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

  Пример.

Т.к.  (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

 

  

Итого:

  Пример.

 

  Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

  6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2  2x2 + 3

 9x3 + 8x2 – 76x - 7

  9x3 – 12x2 – 51x +18

  20x2 – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

 3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3

  3x3 – 9x2  3x2 + 5x - 2

  5x2 – 17x

  5x2 – 15x

  - 2x + 6

  -2x + 6

  0

Таким образом  3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

 

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

 

Окончательно получаем:

 =

  Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

 

  

Тогда значение заданного интеграла:

 

Справочник