Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Вычислить длину дуги полукубической параболы

 

заключенной между точками (0, 0) и (4, 8) (рис.5.1).

 Р е ш е н и е. Функция у(х) определена для . Поскольку данные точки лежат в первой четверти, . Отсюда

  и .

Следовательно,

.

Интегрирование по частям.

  Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

 или ;

  Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

 

  Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

  Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

  Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

  Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

 

Справочник