Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Площадь в полярных координатах

Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды   (рис.3.4).

  Подпись:  
                 Рис.3.4
                Р е ш е н и е. Найдем сначала точ­ки пересечения этих кривых. Для этого  решим системуоткуда . Искомая площадь равна сумме двух площадей, одна из которых представляет круговой сегмент, а другая сегмент кардиоиды, причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . Дуга ВАО описывается концом полярного ради­уса  кардиоиды при изменении  полярного угла  от   до ,а дуга ОСВ — концом полярного радиуса  окружности при . Поэтому   .   

 Формула трапеций.

Теперь f(x) на Dxi будем интерполировать полиномом первой степени.

тогда

 - формула трапеций.

Формула Симпсона.

В этом случае интерполировать f(x) будем уже не по 2-м а по 3-м точкам, т.е. полиномами второй степени.

Найдем Ii.

 - формула Симпсона.

Оценки априорных погрешностей:

Центральный прямоугольник:

Трапеция

Симпсон

1,2 и 3 хорошо обусловлены в смысле абсолютной погрешности.

Найдем апостериорную оценку

, где Dx1k – шаг разбиения.

вычтем (1) из (2)

подставив выражение для с в (1) получим

, мы получили оценку Ричардсона.

 

Справочник