Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Вычислить  площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:   ;  

.Подпись:             

Р е ш е н и е. Ввиду периодичности функций  и  достаточно ограничи­ться рассмотрением отрезка . Кри­вая симметрична относительно оси Ох, так как при замене  на  переменная х не меняет своего значения, а   меняет лишь знак; при этом  при изменении t от 0 до . При изменении  от 0 до  функция  убывает от1 до - 1; при этом абсцисса  сначала убывает от  до , а затем воз-растает до . Можно показать, что ордината у возрастает в интервале   и убывает в интервале .Вид  кривой показан на рис.2.3; там же указано направление обхода ее при возрастании

Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда cÏ[a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства

.

§13. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

 ,

определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим прира­щение функции в точке x при приращении аргумента Dx:

DI(x) = I(x + Dx) – I(x) =

.

Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение

 .

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

 .

 

Справочник