Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Вычислить  площадь фигуры, ограниченной кривой .

 Подпись:                       Рис. 2.1.
                      Рис. 2.1
          

   Р е ш е н и е. Для построения кривой учтем, что она симметрична относительно осей координат. Действительно, если заменить  на  то переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична  относительно оси . При замене же  на  переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак. Это значит, что кривая сим­метрична  относительно оси . Далее, так как функ­ции  имеют общий период , то достаточно ограничится следующим отрезком изменения параметра: . Из уравнений кривой  легко заключить, что переменные   и  одновременно сохраняют неотрицательные  значения только при изме­нении параметра  на отрезке  поэтому при  получается часть кривой, лежащая в первой четверти. Общий  вид кривой изображен на рис.2.1. Как видно из этого рисунка, достаточно вычислить  площадь одной петли кривой, соответствующей изменению параметра  от  до , и затем удвоить результат

Замена переменной

Теорема. Пусть функция  определена и дифференцируема на множестве , и имеет областью значений множество . Пусть для функции  на множестве  существует первообразная

.

Тогда на множестве  для функции  существует первообразная, равная

.

Доказательство. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

, ч.т.д.

Замечание 6.2.1. Если , то дифференциал  равен . Поэтому формулу замены переменной можно понимать как следствие инвариантности формы первого дифференциала.

При использовании формулы замены переменной для вычисления интеграла  следует отыскать такую функцию , для которой интеграл  вычислялся бы проще, чем исходный. Однако универсального способа замены переменной не существует.

Пример 1. Вычислить . Положим , тогда , , и

.

 

 

Справочник