Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Найти площадь астроиды  

Р е ш е н и е.

Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде .

 

Здесь тоже удобно вычислить сначала

 

Отсюда 

Свойства неопределенного интеграла.

1. Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Универсальных правил интегрирования не существует. В процессе нахождения первообразной используют ряд приемов, которые определяются видом подынтегрального выражения. Целью этих приемов является приведение интеграла к табличным интегралам:

1. , , .

2. .

3.  (в частности, ).

4. ,.

5. , .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. , где .

13. , .

14. , .

Справедливость соотношений 1...14 проверяется дифференцированием.

Замечание 6.1.2. Знак модуля в соотношении 2 связан с тем, что функции  и  не являются двумя (отличающимися на действительную константу) первообразными для функции  на всем множестве действительных чисел. Можно убедиться, что

,

однако это соотношение справедливо только при .

Знак модуля во второй формуле можно опустить, если считать, что произвольная постоянная C может принимать значения из множества комплексных чисел. Из формул Эйлера:

,

поэтому одно из значений натурального логарифма числа  равно i. Тогда

,

и две функции ,  можно считать отличающимися на константу.

По указанной причине в правых частях формул 13 и 14 записаны именно обратные гиперболические функции, а не логарифмы модулей. Более строго:

13. .

14. .

Однако запомнить формулы 13 и 14 в таком виде сложнее.

 

Справочник