Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Если граница  фигуры задана параметрическими уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

: 

где   и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева). 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

Р е ш е н и е. Здесь удобно вычислить сначала  . Отсюда 

 

Неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

К числу важных прикладных задач относятся задачи определения закона движения частицы по известной скорости и определения скорости по известному ускорению. Подобные задачи приводят к проблеме отыскания неизвестной функции по известной производной.

Функция  называется первообразной для функции  на интервале , если в любой точке x этого интервала выполнено .

Теорема 6.1.1. Пусть  определена на интервале и ,  – две ее первообразные. Тогда существует постоянная , такая, что при любом  выполнено .

Доказательство. Рассмотрим функцию

.

Тогда  дифференцируема на  и ее производная равна

.

Пусть x – произвольная точка интервала , x0 – какая-либо фиксированная точка этого же интервала (без ограничения общности можно принять ). Тогда на отрезке  функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Полагая , получим

, ,

следовательно, при любом

, ч.т.д.

Пример. Функции  и  являются первообразными для функции  на интервале , так как при любом  выполнено , . В то же время

.

Множество всех первообразных для функции  называется неопределенным интегралом от функции :

,

где  – какая-либо первообразная для , C – произвольная постоянная. В этой записи функция  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Замечание 6.1.1. Из определения следует, что равенство двух неопределенных интегралов

следует понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

,

поэтому интегрирование является действием, обратным дифференцированию.

Так как

,

то под знаком интеграла находится дифференциал  любой первообразной для функции . Поэтому

,

.

Справочник