Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Вычисление площадей в декартовых координатах

Найти площади фигур, ограниченных окружностью   и параболой  

Подпись:

 

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Перепишем уравнение данных кривых в виде

  , 

Следовательно, центр окружности лежит в точке С(1, -2) и радиус окружности равен 4, а ось параболы совпадает с прямой  и вершина параболы  лежит в точке (1,) (рис.1.12).

Площадь  меньшей фигуры находим по формуле  ,

где   и  определяются из системы уравнений 

откуда . Следовательно,

.

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где ,

.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

 (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

 ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :

 (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

 ,

где b(u) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

 , (5)

где

.

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор

при этом, .

 

Справочник