Интегралы Вычисление площадей в декартовых координатах

Найти площади фигур, ограниченных окружностью   и параболой 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2 

Найти площадь между параболой , касательной к ней в точке М(2,–5) и осью ординат.

Вычислить площадь петли кривой

Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой  хордой .

Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой  и прямой .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и   

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези :

Метод трапеций

Можно получить более точное значение определенного интеграла при том же числе разбиения n интервала [a, b], если значение функции y = f(x) внутри каждого малого интервала [xi, xi+1] шириной h заменяют линейной функцией, т.е. отрезком прямой, соединяющим концы интервала. При этом область под кривой интегрирования разбивается на трапеции. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций

или

 

Выполним вычисления с тем же шагом h = 0.2. Все данные расчетов в таблице

i

x

f(x)

0

3

0.8613

1

3.2

0.8853

2

3.4

0.9081

3

3.6

0.9299

4

3.8

0.9507

5

4

0.9707

6

4.2

0.9899

7

4.4

1.0082

8

4.6

1.0259

9

4.8

1.0429

10

5

1.0592

11

5.2

1.0750

12

5.4

1.0902

13

5.6

1.1048

14

5.8

1.1189

15

6

1.1325

16

6.2

1.1457

17

6.4

1.1584

18

6.6

1.1707

19

6.8

1.1826

20

7

1.1941

Сумма i=1..19

19.9495

Интеграл =

4.1954

3  Метод Симпсона

Это самый точный из рассматриваемых методов численного интегрирования. Здесь участок [a, b] разбивается на n=2m четное число частей, и через каждые три точки проводят параболу. При этом площадь криволинейной трапеции под интегральной кривой заменяется на каждой паре участков площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой. Формула приближенного интегрирования Симпсона имеет вид:

где

Выполним вычисления с тем же шагом h = 0.2. Все данные расчетов в таблице.

i

x

f(xi)

f(x2i)

f(x2i+1)

0

3

0.8613

1

3.2

0.8853

3.5410

2

3.4

0.9081

1.8162

3

3.6

0.9299

3.7195

4

3.8

0.9507

1.9015

5

4

0.9707

3.8828

6

4.2

0.9899

1.9797

7

4.4

1.0082

4.0329

8

4.6

1.0259

2.0518

9

4.8

1.0429

4.1715

10

5

1.0592

2.1185

11

5.2

1.0750

4.2999

12

5.4

1.0902

2.1803

13

5.6

1.1048

4.4191

14

5.8

1.1189

2.2378

15

6

1.1325

4.5301

16

6.2

1.1457

2.2914

17

6.4

1.1584

4.6336

18

6.6

1.1707

2.3414

19

6.8

1.1826

4.7303

20

7

1.1941

Суммы:

18.9185

41.9609

Интеграл =

4.1957

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники