Производная функции

Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Производная

Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$

Рассмотрим линейную функцию $ y=f(x)=kx+b$

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Найдём производную функции $ f(x)=a^x$ ($ a>0,\ a\ne1$).

Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$

Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$

Производная композиции

Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Найдём производную функции $ y=\cos^52x$.

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .

Символ суммирования

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$.

Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$

Производные функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$.

Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной неявно

Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части

Производные и дифференциалы

Найдём производную функции

$ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

$ y=x^2e^{-2x}$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой $\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

 

Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$

Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$.

 

 

Справочник