Общие свойства пределов

Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

 

Вычислим предел
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$
$ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$

$ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Пределы при разных условиях

Покажем, что предел функции $ f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $ x\to+\infty$ равен числу 3.

Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Сравнение бесконечно малых
$\displaystyle \sin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$
Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Вычислим предел
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$
$ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$
\begin{multline*}
e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim...
...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}=
\dfrac{x}{2}.
\end{multline*}

$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$

Правило Лопиталя

Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}$

Рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}.$

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$

 

 

Справочник