Функции и их графики Непрерывность, точки разрыва

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Разложение вектора по базису

Даны векторы $ {\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор $ {\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника $ OAB$ . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Функции

пример

Первый способ задания функции: табличный

задача

задача

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой $\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Скалярное произведение векторов

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$

Смешанное произведение векторов

Является ли система векторов $ {\bf a}=(1;1;-2)$ , $ {\bf b}=(4;-1;3)$ , $ {{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Композиция функций

Обратная функция

Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:

Пределы при разных условиях

Уравнение плоскости

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Вычислим предел
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$
$ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$

$ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

 

Разложение вектора по базису

Даны векторы $ {\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор $ {\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника $ OAB$ . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Функции

пример

Первый способ задания функции: табличный

задача

задача

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой $\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Скалярное произведение векторов

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$

Смешанное произведение векторов

Является ли система векторов $ {\bf a}=(1;1;-2)$ , $ {\bf b}=(4;-1;3)$ , $ {{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Композиция функций

Обратная функция

Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:

Пределы при разных условиях

Уравнение плоскости

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Вычислим предел
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$
$ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$

$ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Вычислим предел
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$
$ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$
\begin{multline*}
e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim...
...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}=
\dfrac{x}{2}.
\end{multline*}
$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$

Прямая в пространстве

Основные задачи на прямую и плоскость

Прямая задана уравнениями $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$

Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$

Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ : .

Определение непрерывности функции

Определение точек разрыва

Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0-$

Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$, для которой $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x^2-x\ne0\}=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$

Возьмём $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$, где $ n\in\mathbb{N}$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$; её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$, и точка $ x=0$ -- точка разрыва.

Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ x\to0-$.     

Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$

Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Окружность

Парабола

Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.

Сфера

Непрерывность функций и точки разрыва

Рассмотрим функцию $ H(x)=\left\{\begin{array}{rl}
0,&\mbox{ при }x<0;\\
1,&\mbox{ при }x\geqslant 0
\end{array}\right.
$ (функция Хевисайда) на отрезке $ [0;b]$, $ b>0$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом: $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;...
...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\
2,&\mbox{ если }x\in(3;4).
\end{array}\right.
$

Равномерная непрерывность

Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$.

Пусть функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ рассматривается на интервале $ (0;1)$.

Линейные пространства и преобразования

Постройте параболу $\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$ найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

Производная

Производные некоторых элементарных функций

 

Производная композиции

Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Найдём производную функции $ y=\cos^52x$.

Сложение матриц и умножение на число

Пусть $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&0\\
-5&1&3\end{array}\right)$ .

Символ суммирования

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$

Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$

Умножение матриц

Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .

Матрицы, Определители

Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$

Вычислите определитель матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\
-6&7&1&-1\end{array}\right)$

Ранг матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&2&-1&0\\ 3&4&-5&6\\ 5&-2&-3&-4\end{array}\right)}$

Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&6\\ 2&1&2\\ 3&4&8\end{array}\right)}$

Обратная матрица

Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$

Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$.

Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$

Производные функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$.

Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной неявно

Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части

Правило Крамера

Решите систему уравнений $ \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3,
\\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Производные и дифференциалы

Найдём производную функции

$ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

$ y=x^2e^{-2x}$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой $\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Правило Лопиталя

Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}$

Рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}.$

Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$

Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$.

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Найдите общее решение системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6=2,\\ 8x_2+4x_3-8x_4+13x_5+2x_6=14,\\
6x_2+3x_3-6x_4+6x_5-x_6=18,\end{array}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2x_3-x_4=3,\\ 2x_1-x_2+3x_3+4x_4=-1,\\
4x_1+x_2+7x_3+2x_4=6,\\ 5x_1-x_2+3x_3+2x_4=-3.\end{array}\right.$

Решите систему $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3-x_4=1,\\
3x_1+2x_2-x_3+x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-3x_4=1,\\ 4x_1-2x_2-x_3-3x_4=2.\end{array}\right.$

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений: $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4...
...
-5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

 

Сравнение бесконечно больших величин

При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=a^x$ ($ a>1$) и $ g(x)=x^b$ ($ b>0$).

При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( $ {\varepsilon}>0$) и $ g(x)=\log_ax$ ($ a>1$).

Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
1,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$

Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$

При $ {x\to+\infty}$ величины $ {f_1(x)=\sqrt{x}}$, $ {f_2(x)=x}$ , $ {f_3(x)=x^3}$, $ {f_4(x)=x^3+\sin x}$, $ {f_5(x)=3x^3+x^2+1}$, $ {f_6(x)=x^4+1}$ -- бесконечно большие.

При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=a^x$ ($ a>1$) и $ g(x)=x^b$ ($ b>0$).

При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( $ {\varepsilon}>0$) и $ g(x)=\log_ax$ ($ a>1$).

Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
1,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$ $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$

Алгебраические структуры

Пусть множество $ \mathfrak{G}$ состоит только из двух элементов.

Группы

Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество целых чисел. В качестве операции $ \propto$ возьмем операцию сложения чисел.

Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции "$ \propto$ " возьмем операцию обычного умножения.

Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой

Кольца

Пусть $ \mathcal{K}$ -- множество, содержащее $ n$ элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., $ n-1$ .

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$

Построение поля комплексных чисел

Пусть $ {z_1=2-3i}$ , $ {z_2=1+4i}$ .

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Изобразим на комплексной плоскости числа $ {z_1=2+i}$ , $ {z_2=3i}$ , $ {z_3=
-3+2i}$ , $ {z_4=-1-i}$ ,

Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: $ {z_1=-1+i}$ , $ {z_2=4}$ , $ {z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , $ {z_4=5i}$ , $ {z_5=-2-3i}$

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ .

Вычислите $ z^6$ , если $ {z=1-i}$ .

Показательная форма комплексного числа

Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .

Извлечение корня из комплексного числа

Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .

Асимптоты графика функции

Рассмотрим функцию

$ f(x)=\dfrac{1}{x-1}$

$ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$

$ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$

$ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$

$ f(x)=\sin x+e^{-x}$

$ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$

$ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$

График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при $ x=0$ вертикальной асимптоты

Прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой графика функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$

График функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$ имеет горизонтальную асимптоту $ y=1$ как при $ x\to+\infty$, так и при $ x\to-\infty$

Возрастание и убывание функции

Рассмотрим функцию

$ f(x)=x^3$

$ f(x)=x^2\ln x$

$ f(x)=x^3e^x$

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию

$ f(x)=x^4+2x^2+5$.

$ f(x)=x^4-2x^2+5$

 

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию

$ f(x)=\vert x\vert$.

$ f(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-17$

Комплексные числа

Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .

Достаточные условия локального экстремума

Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$.

Выпуклость функции

Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$; её график -- парабола $ y=x^2$.

$ f(x)=x^4-2x^2$ $ f(x)=x^4$ $ f(x)=x^3$ $ f(x)=\sqrt[3]{x}$

Общая схема исследования функции и построения её графика

Для функции $ f(x)=(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ считаем, что $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty)$, хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных $ x$.    

Примеры исследования функций и построения графиков

Построим график функции

Исследуем функцию и построим её график.

$ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$

$ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$

$ f(x)=(x^2-2x)e^x$

Линейные пространства и преобразования

Пусть $ L$ -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости

Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ \mathcal{A}$  -- поворот вектора по часовой стрелке на угол $ {\varphi}$

Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат

Пусть $ L$  -- пространство всех многочленов, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, которое переводит вектор из $ L$ , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из $ L$

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ .

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство.

Кривизна графика функции

Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$.

Евклидово пространство

Пусть $ a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2
\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ .

Вершины кривых

Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$.

Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$).

Радиус кривизны параболы $ y=x^2$ в её вершине равен $ r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}$.

Аффинное n-мерное пространство

Пусть $ {A=(1,\,2,\,-1,\,3)}$ , $ {B=(2,\,0,\,-3,\,4)}$  -- точки четырехмерного пространства.

Матрица линейного преобразования

Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$

Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$

Отделение корней

Рассмотрим уравнение

$ x^3-4x+2=0$.

$ x^3+2x^2+3x+5=0$

Для функции $ f(x)=x^3-4x+2$ найдём интервалы монотонности.

Метод половинного деления

Снова рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Метод одной касательной

Решим методом одной касательной уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$.

Метод Ньютона (метод касательных)

Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд

Проверим, что метод работает и в том случае, если $ x_0$ и $ x_1$ взяты по одну и ту же сторону от корня

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Найдём производную функции $ f(x)=a^x$ ($ a>0,\ a\ne1$).

Вершины кривых

Рассмотрим прямую $ y=kx+b$.

 

 
Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники