Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Обратная матрица

 Пример   Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\...
...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $ \vert A\vert\ne0$ , то матрица $ A$  -- невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

 

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\...
..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

 

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}...
...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

 

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}...
...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

 

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}...
...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

 

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.         

Пример 1. Используя определение непрерывной функции на языке приращений, доказать, что f(x) = x3 – 2x2 непрерывна .

Решение. Дадим аргументу x приращение ∆x и найдем соответствующее приращение функции:

 .

Каждое слагаемое, полученного для ∆y выражения, является бесконечно малой при ∆x→0 величиной, поэтому  непрерывна при любом действительном x.

Пример 2. Найти область определения функции

и обосновать её непрерывность в своей области определения.

Решение. Функция определена при выполнении условий: x >0, ln x ≠ 0, 2x–x2 ≥0. Область определения будет решением системы неравенств:

.

Заданная функция непрерывна в любой точке области определения по теореме о непрерывности суммы непрерывных функций. Первое слагаемое непрерывно  по теореме о непрерывности частного непрерывных функций. Второе слагаемое является непрерывной функцией  по теореме о непрерывности сложной функции.