Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Умножение матриц

Пример Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .
Решение. Рассмотрим произведение $ AB$ . Число столбцов в первом сомножителе $ (A)$ равно 3, число строк во втором сомножителе $ (B)$ тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.
Результатом умножения будет матрица $ C$ , $ C=AB$ , у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрица $ C$ имеет размеры $ 3\times 2$ .
Находим элемент $ c_{11}$ . В его вычислении участвует первая строка $ \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и первый столбец $ \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{11}=1\cdot3+2\cdot1+(-1)\cdot4=1.$
Находим элемент $ c_{12}$ . В его вычислении участвует первая строка $ \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и второй столбец $ \left(\begin{array}{r}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{12}=1\cdot(-2)+2\cdot0+(-1)\cdot(-3)=1.$
Все элементы первой строки матрицы $ C$ вычислены. Находим элемент $ c_{21}$ . В его вычислении участвует вторая строка $ \left(\begin{array}{rrr}3&4&0\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и первый столбец $ \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{21}=3\cdot3+4\cdot1+0\cdot4=13.$
Находим элемент $ c_{22}$ . В его вычислении участвует вторая строка $ \left(\begin{array}{rrr}3&4&0\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и второй столбец $ \left(\begin{array}{r}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{22}=3\cdot(-2)+4\cdot0+0\cdot(-3)=-6.$
Вычислены все элементы второй строки матрицы $ C$ . Аналогично находим элементы третьей строки:
$\displaystyle c_{31}=(-1)\cdot3+2\cdot1+(-2)\cdot4=-9,$
$\displaystyle c_{32}=(-1)\cdot(-2)+2\cdot0
+(-2)\cdot(-3)=8.$
Итак, $ C=\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 13&-6\\ -9&8\end{array}\right)$ .
Рассмотрим произведение $ BA$ . Число столбцов в первом сомножителе $ (B)$ равно 2, число строк во втором сомножителе $ (A)$ равно 3. Числа не совпали, следовательно, произведение не определено.
Ответ: $ AB=\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 13&-6\\ -9&8\end{array}\right)$ , произведение $ BA$ не определено.

 

Нахождение коэффициентов Фурье, или собственно проекционная процедура, состоит в следующем. Умножаем скалярно уравнение исходной задачи на базисные функции и преобразуем полученные интегралы с использованием теоремы Грина и граничных, вообще говоря, неоднородных условий. В результате, как ниже будет показано на примерах, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье. Решение этой системы известными методами завершает построение ряда Фурье, представляющего решение исходной начально-краевой задачи. Этот ряд сходится равномерно в случае, если граничные условия исходной задачи однородные самосопряженные. В общем случае ряд, построенный по указанной процедуре, сходится только в среднем.

Справочник