Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Матрица линейного преобразования


       Пример Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$ из  примера 19.2. Угол $ {\varphi}$ возьмем равным $ \frac{\pi}6$ . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.
Из рисунка 19.7 видно, что вектор $ {\mathcal{A}({\bf i})}$ имеет координаты $ {\cos\frac{\pi}6=\frac{\sqrt3}2}$ и $ {\sin\frac{\pi}6=\frac12}$ .
Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота


Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид $ \left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12\end{array}\right)$ . Координаты образа второго базисного вектора равны $ {-\frac12}$ и $ {\frac
{\sqrt3}2}$ , его координатный столбец имеет вид $ \left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\end{array}\right)$ . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол $ {\frac{\pi}6}$ имеет вид
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2&-\frac12\\
\vphantom{\dfrac11}\frac12&\frac{\sqrt3}2\end{array}\right).$

 

13) Найти координаты точки пересечения прямой :  и плоскости : .

Решение.

Координаты точки  пересечения прямой  и плоскости  представляют собой решение системы

 (3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой :  и подставим выражения для  в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение  в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .

Задача №3.

К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.

Эллипс

Рис. 6

Гипербола  Гипербола .

Рис. 7 Рис. 8

Парабола  Парабола


Рис. 9 

Рис. 10


Парабола  Парабола


Рис. 11 

Рис. 12

Формула Грина.

Криволинейный интеграл второго рода по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D, может быть преобразован в двойной интеграл по области D ограниченной этим контуром L по формуле Грина.

Конечная область D называется односвязной, если она ограничена единственным замкнутым контуром.

Справочник