Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Линейные пространства и преобразования

Определение и примеры

Упражнение Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ симметричный исходному относительно прямой $ l$ (рис. 19.5). Другими словами, $ x'$ является зеркальным отражением вектора $ x$ в прямой $ l$ .

Рис.19.5.Преобразование отражения


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.



Упражнение19.1.2. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6).

Рис.19.6.Преобразование проектирования


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.

3.5. Что можно сказать о непрерывности простейших

 элементарных функций? 

 

Каждая из простейших элементарных функций непрерывна в каждой точке своей области определения. Непрерывность каждой элементарной функции доказывается отдельно. Мы сделаем это, когда перейдем к решению задач.

3.6. Перечислить условия, при которых сложная

  функция y = f(g(x)) будет непрерывна в точке x0

1. Функция y = f(g(x)) должна быть определена в точке x0

и в некоторой ее окрестности.

2. Функция g(x) должна быть непрерывна в точке x0 .

3. Функция y = f(z) должна быть непрерывна в точке z0 , причем z0= g(x0).

3.7. Как много непрерывных функций?

Все простейшие элементарные функции (рациональные, дробно-рациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические) непрерывны в каждой точке своей области определения.

Любая суперпозиция из простейших элементарных функций, последовательно примененная конечное число раз, непрерывна в каждой точке своей области определения (на основании теоремы о непрерывности сложной функции).

Любая функция, полученная из непрерывных функций с помощью четырех арифметических действий, непрерывна в каждой точке своей области определения.

Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток, равный , начиная от  до ;

построить полученные точки;

построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Справочник