Сопромат
Электротехника
Курсовая
Типовой
Фото
Энергетика
Геометрия
Физика

Лекции

Математика
Искусство
Контрольная

Курс

Примеры
Архитектура
На главную

Комплексные числа

Пример   Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .
Решение. Находим дискриминант:
$\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$
Решим уравнение $ y^2=D$ . Для этого находим $ \vert D\vert=50$ . Пусть $ {{\varphi}=\arg D}$ . Тогда $ {\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на $ (-1)$ . По формуле (17.15)
$\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$
По формулам половинного аргумента с учетом того, что $ {0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим
$\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}=
\frac7{5\sqrt2},$
$\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}=
\frac1{5\sqrt2}.$
Таким образом, $ {\sqrt D=7+i}$ .
По формулам (17.16)
$\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$   
$\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$   

Ответ: $ x_1=1-2i$ , $ x_2=-3+i$ .         

Доказанная теорема позволяет определить линейный разрешающий оператор вспомогательной задачи (2.4.6), ставящий в соответствие функции  решение вспомогательной задачи (2.4.6) . Обозначим этот оператор как

,

 

при этом учитывая, что множество значений этого оператора . Этот оператор может рассматриваться и как оператор

.

 

Установленное в теореме 2.21 свойство (2.4.7) означает, что оператор (2.4.11) – ограниченный. Действительно, неравенство (2.4.14) можно записать в виде

.

 

Отметим, что отсюда следует ограниченность оператора (2.4.13). Действительно, учитывая, что

 ,

можно записать

.

 

Свойства разрешающего оператора

Рассуждения, полностью аналогичные рассуждениям п. 2.2.3, позволяют сформулировать следующую теорему

Разрешающий оператор  вспомогательной задачи (2.4.6) – линейный самосопряженный вполне непрерывный оператор.

Свойства собственных значений и собственных функций

Точно так же, как и в задаче Дирихле, может быть показано, что все собственные значения задачи (2.4.6) действительны и, не ограничивая общности, можно считать, что вещественны и соответствующие им собственные функции, которые будем считать нормированными в :

;

 

Так же, как и в задаче Дирихле, может быть показано, что собственные функции  и , отвечающие различным собственным значениям  и  (), ортогональны в :

;

 

при этом если в (2.4.6) положить , то получим

 ,

откуда следует, что все собственные значения положительны ().

Так же, как в п. 2.2.7 может быть показано, что каждому собственному значению соответствует конечное число линейно независимых собственных функций и для любого  существует не более чем конечное множество собственных значений  таких, что .