Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Пример   Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: $ {z_1=-1+i}$ , $ {z_2=4}$ , $ {z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , $ {z_4=5i}$ , $ {z_5=-2-3i}$ .
Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:
$\displaystyle z_1=-1+1i,\quad z_2=4+0\cdot i,\quad z_3=-\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)i,$
$\displaystyle z_4=0+5i,\quad z_5=-2+(-3)i.$
Тогда по формулам (17.6) и (17.7) находим:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,\quad \arg z_1=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac1{-1}=\pi-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4;$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{4^2+0^2}=4,\quad \arg z_2=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac04=0;$
\begin{multline*}
\vert z_3\vert=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sq...
...left(-\frac12\right)\right)=\\
=\pi+\frac{\pi}3=\frac{4\pi}3;
\end{multline*}
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{0^2+5^2}=5,\quad \arg z_4=\frac{\pi}2;$
$\displaystyle \vert z_5\vert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad
\arg z_5=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-3}{-2}=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5.$
В последнем случае можно вычислить с помощью калькулятора $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5}$ и записать $ {\arg z_5\approx 4.1244}$ .         

 

Вспомогательная задача

Рассмотрим вспомогательную задачу, в которой требуется определить функцию , удовлетворяющую равенству

 

при всех .

Справедлива

Пусть  ­– ограниченная область в . Тогда при всех  существует единственное решение  и при этом справедливо неравенство

,

 

где  – некоторая положительная постоянная, зависящая только от области .

Доказательство. Обозначая

,

 

,

 

сформулируем вспомогательную задачу в виде: найти функцию , удовлетворяющую равенству

,

 

при всех .

Покажем, что для задачи (2.2.10) (и, соответственно, (2.2.6)) выполнены все условия теоремы Лакса–Мильграма. Очевидно, что форма , определяемая (2.2.8), билинейна и симметрична. Установим ограниченность формы . Используя дискретное и интегральное неравенства Коши–Буняковского, получаем

 

Таким образом,

 ,

и условие ограниченности билинейной формы  выполняется с постоянной  (см. п. 2.1.7).

Установим коэрцитивность билинейной формы . Согласно неравенству Фридрихса (теорема 2.8) для некоторой постоянной  справедливо неравенство

 ,

откуда

 ,

откуда получаем

.

 

Таким образом, условие коэрцитивности выполнено с постоянной  (см. п. 2.1.7).

Ограниченность линейного функционала l, определенного соотношением (2.2.9), может быть установлена с помощью неравенства Коши–Буняковского:

 

Установленные свойства билинейной формы (2.2.8) и линейного функционала (2.2.9) позволяют применить теорему Лакса–Мильграма для доказательства существования и единственности решения вспомогательной задачи (2.2.6). Учитывая, что это решение в силу (2.2.10) удовлетворяет равенству

 ,

и учитывая неравенства (2.2.11), (2.2.12), получим

  ,

откуда получаем (2.2.7) с постоянной .

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Справочник