Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Построение поля комплексных чисел

 

Пример   Пусть $ {z_1=2-3i}$ , $ {z_2=1+4i}$ . Тогда:
$\displaystyle z_1+z_2=(2-3i)+(1+4i)=3+i,$
$\displaystyle z_1-z_2=(2-3i)-(1+4i)=1-7i,$
$\displaystyle z_1z_2=(2-3i)(1+4i)=2-3i+8i-12i^2=2+5i+12=14+5i,$
$\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\ovl z_1}{z_1\ovl z_1}=\frac{(1+4i)(2+3i...
...c{2+8i+3i+12i^2}{4-9i^2}=
=\frac{2+11i-12}{4+9}=-\frac{10}{13}+\frac{11}{13}i.$
Вычислим еще $ \dfrac 1i$ :
$\displaystyle \frac1i=\frac{1(-i)}{i(-i)}=\frac{-i}1=-i.$
 

 9. Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.

, , p+q=1.

Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным исходом будет являться:

(w1,w2,…,wn),  .

Всего таких исходов 2n.

. (1)

Формула (1) показывает, что события независимы.

Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие .

По теореме сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

 Пример. 2 шахматиста играют в шахматы. Оба шахматиста равны по силам. Что вероятнее выиграть одну партию из двух или две из четырех (ничьи во внимание не принимаются)?

 , , .

 .

Полиномиальное распределение.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,

P(Ei)=pi, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:

где  

Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.

 10 Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях стремится к величине , то есть .

Доказательство: По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях

, где q=1-p.

Отсюда .

По условию .

Подставляя, получим

Перейдем к пределу при , т.е.  

.

 —формула Пуассона.

 Теоремой удобно пользоваться, когда р→0, . Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных а и k.

 Формулой Бернулли  удобно пользоваться, когда значение n не очень велико. Если же n достаточно велико, то удобнее пользоваться приближенными формулами, одна из которых содержится в следующей теореме.

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Справочник