Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Сравнение бесконечно больших величин

 

Пример Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
1,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.$ Эта функция непрерывна справа в точке $ x=0$. Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену $ z=\dfrac{1}{h}$ :
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{h}-1...
...p{\rm th}\nolimits z-1}{\dfrac{1}{z}}=
\lim_{z\to+\infty}\dfrac{-2z}{e^z+1}=0,$
поскольку, как мы выяснили выше, экспонента $ e^z$ растёт быстрее $ z$ при $ z\to+\infty$.
Во всех остальных точках $ x\ne0$ производная вычисляется с помощью правил дифференцирования:
$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm th}\nolimits z)'_z
\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}...
...t(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot
\dfrac{4}{(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}.$
При $ x\to0+$ это выражение имеет предел
$\displaystyle \lim_{x\to0+}f'(x)=
\lim_{x\to0+}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cd...
...}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}=
-4\lim_{z\to+\infty}\dfrac{z^2}{(e^z+e^{-z})^2}=0,$
поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе.
Таким образом, получили, что $ \lim\limits_{x\to0+}f'(x)=f'(0)$, то есть производная оказалась непрерывной справа в точке $ x=0$.
Из того, что функция $ \mathop{\rm th}\nolimits $ -- нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции $ f(x)$, если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках $ x\in\mathbb{R}$, причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева.     
     
    

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Справочник