Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Сравнение бесконечно больших величин

 

    Пример При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=a^x$ ($ a>1$) и $ g(x)=x^b$ ($ b>0$). Покажем, что при всех таких $ a$ и $ b$ имеет место соотношение
$\displaystyle x^b\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}a^x,$
то есть любая степень $ g(x)=x^b$ имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем растущая экспонента $ f(x)=a^x$.
Для этого рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}$. К этому пределу можно применить правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}=
\lim\limits_{x\to+\in...
...-1}}{a^x\ln a}=
\dfrac{b}{\ln a}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{b-1}}{a^x}.$
Если при этом $ b-1\leqslant 0$, то последний предел берётся от бесконечно малой и равен 0; если же $ b>1$, то правило Лопиталя можно применить ещё раз и, быть может, неоднократно. В конечном счёте получим
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}=
\dfrac{b}{\ln a}\cdot...
...s\cdot\dfrac{b-k+1}{\ln a}\cdot
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{b-k}}{a^x},$
где $ k=\lceil b\rceil$ (напомним, что через $ \lceil b\rceil$ обозначается ближайшее целое число, не меньшее $ b$). Поскольку $ k\geqslant b$, в числителе дроби стоит невозрастающая функция, а знаменатель стремится к $ +\infty$, так что предел равен 0, что и требовалось получить.    
     

Пример. Материальная точка падает в пустоте под
действием силы тяжести с высоты h. Обозначим через y высоту точки в момент времени t, протекшего от начала движения.
Очевидно, что значение переменной y будет зависеть от значений t, и, следовательно, y является функцией аргумента t. Из курса физики известно, что зависимость y от t выражается формулой

 .

В момент падения y = 0 . Это означает, что аргумент t принимает свои значения на промежутке , который является областью определения функции. При этом , то есть промежуток  – множество значений функции .

Справочник