Производная функции, заданной неявно

 

        Пример  Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:
$\displaystyle e^{xy}(xy)'_x+(x\cos y)'_x=e^{xy}(y+xy'_x)+\cos y-x\sin y\cdot y'_x=0.$
Слагаемые, содержащие $ y'_x$, оставим в левой части, а остальные перенесём направо:
$\displaystyle y'_x(xe^{xy}-x\sin y)=-ye^{xy}-\cos y,$
откуда
$\displaystyle y'_x=-\dfrac{ye^{xy}+\cos y}{x(e^{xy}-\sin y)}.$
Получили выражение для производной $ y'_x$, содержащее, правда, не только $ x$, но и $ y$ в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением $ e^{xy}+x\cos y=0$, уравнения касательной и нормали, проведённых в точке $ (-1;0)$. Действительно, при $ x=-1, y=0$ мы получаем $ y'_x=-\dfrac{1}{-1}=1$, так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной: $ k=1$. Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:
$\displaystyle y=0+1\cdot(x-(-1)),$ или $\displaystyle y=x+1,$
а уравнение нормали -- таково:

$\displaystyle y=0-\dfrac{1}{1}\cdot(x-(-1)),$ или $\displaystyle y=-x-1.$

Обобщенная проблема собственных значений для задачи Дирихле

Формулировка проблемы

Классическая проблема собственных значений и собственных функций для задачи Дирихле формулируется как задача об определении значений числового параметра , при которых существуют нетривиальные классические решения  задачи

,

 

.

 

и задача об определении этих нетривиальных решений, называемых собственными функциями, отвечающими собственному значению .

Для получения обобщенной формулировки, действуя формально, умножим уравнение (2.2.1) на произвольную функцию  и проинтегрируем результат по области :

.

 

С учетом того, что

 ,

после применения теоремы Гаусса–Остроградского получим

,

 

откуда, полагая  при , получим

.

 

Собственными значениями обобщенной задачи Дирихле на собственные значения и собственные функции называются такие значения числового параметра , при которых существует нетривиальное решение  (обобщенная собственная функция), удовлетворяющие равенству (2.2.5) при всех .

 

В приложениях математики широко используется табличный способ задания функции. При этом способе указываются значения функции в нескольких точках из области ее определения. К функциям, задаваемым таблично, обычно прибегают в результате обработки экспериментальных данных. В технических приложениях математики часто используется графическое задание функции. В этом случае специальные приборы воспроизводят на экране графическое изображение функции, с помощью которого делается заключение о характере функциональной зависимости.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники