Основные задачи на прямую и плоскость

 

Уравнение плоскости

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$

Замена переменного и преобразование базы при такой замене
Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$
Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$

Прямая в пространстве

Требуется найти какую-нибудь точку $ M$ на прямой

Основные задачи на прямую и плоскость

Прямая задана уравнениями $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$

Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$

Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ : .

Окружность
Нарисуйте кривую $ {x^2+y^2-2x+6y+6=0}$
Парабола
Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.
Сфера
Нарисуйте сферу $\displaystyle x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z+2=0.$
Линейные пространства и преобразования
Постройте параболу $\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$ найдите ее фокус и директрису.
Параллельный перенос системы координат
Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы. Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$ Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .

Правило Крамера

Решите систему уравнений $ \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3,
\\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Найдите общее решение системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6=2,\\ 8x_2+4x_3-8x_4+13x_5+2x_6=14,\\
6x_2+3x_3-6x_4+6x_5-x_6=18,\end{array}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2x_3-x_4=3,\\ 2x_1-x_2+3x_3+4x_4=-1,\\
4x_1+x_2+7x_3+2x_4=6,\\ 5x_1-x_2+3x_3+2x_4=-3.\end{array}\right.$

Решите систему $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3-x_4=1,\\
3x_1+2x_2-x_3+x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-3x_4=1,\\ 4x_1-2x_2-x_3-3x_4=2.\end{array}\right.$

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений: $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4...
...
-5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

Группы

Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество целых чисел. В качестве операции $ \propto$ возьмем операцию сложения чисел.

Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции "$ \propto$ " возьмем операцию обычного умножения.

Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой

Кольца

Пусть $ \mathcal{K}$ -- множество, содержащее $ n$ элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., $ n-1$ .

Евклидово пространство

Пусть $ a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2
\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ .

Вершины кривых

Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$.

Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$).

Радиус кривизны параболы $ y=x^2$ в её вершине равен $ r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}$.

Аффинное n-мерное пространство

Пусть $ {A=(1,\,2,\,-1,\,3)}$ , $ {B=(2,\,0,\,-3,\,4)}$  -- точки четырехмерного пространства.

Отделение корней

Рассмотрим уравнение

$ x^3-4x+2=0$.

$ x^3+2x^2+3x+5=0$

Для функции $ f(x)=x^3-4x+2$ найдём интервалы монотонности.

Метод половинного деления

Снова рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Метод одной касательной

Решим методом одной касательной уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$.

Метод Ньютона (метод касательных)

Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд

Проверим, что метод работает и в том случае, если $ x_0$ и $ x_1$ взяты по одну и ту же сторону от корня

Вершины кривых

Рассмотрим прямую $ y=kx+b$.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники