Линейные дифференциальные уравнения

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Решить уравнение

Уравнения с правой частью специального вида

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Решить уравнение

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Найти общее решение системы уравнений:

 

Уравнения, допускающие понижение порядка

Решить уравнение  с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;

Давление жидкости.

Величина силы Р давления жидкости в ньютонах на

горизонтальную площадку вычисляется по формуле

 где - плотность жидкости в , s –

площадь площадки в , h – глубина погружения площадки в м. Рассмотрим задачу определения давления жидкости на

вертикальную площадку.

Пример1: Треугольная пластинка с основанием 0.3 м и высотой 0.6 м погружена вертикально в воду так, что е вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.

Решение:

Разобьем пластинку на n тонких полосок. На глубине x выделим одну из них и обозначим через  ее ширину. Приняв полоску за прямоугольник, найдем ее площадь :

 

Из подобия треугольников АВС и КВМ имеем::

откуда КМ=1/2х. Следовательно,

Суммируя элементарные давления на каждую из полосок и неограниченно увеличивая число делений n , найдем значение силы Р давления жидкости на всю пластинку:

Таким образом.

 

 

 

Пример2: Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20м, а высота 5м. (считая шлюз доверху заполненным водой)

Решение:

Упражнения:

1. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 30м, а высота 10м, причем верхний конец пластинки совпадает с уровнем воды.

2. Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную пластинку, основание которой 16м, а высота 24м, причем верхний конец пластинки находится на 10см ниже свободной поверхности воды.

3. Треугольная пластинка с основанием 0.9м и высотой 0.12 м погружена вертикально в воду так, что е вершина лежит на 0.03м ниже поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.

4. Вычисление работы против сил межмолекулярного притяжения.

- внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул.

Пример1: Некоторый газ количеством вещества 1 кмоль занимает объем . При расширении газа до объема  была совершена работа А против сил межмолекулярного притяжения, равная 45,3 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

Дано: Определить: а

Решение. 

 

 

Упражнение: 1. Кислород, массой 100г расширяется от объема 5л до объема 10л. Определить работу межмолекулярных сил притяжения при этом растяжении. Поправку а взять из примера 1.

2. Некоторый газ количеством вещества 0,25 кмоль занимает объем . При расширении газа до объема  была совершена работа А против сил межмолекулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

5. Сила и плотность электрического тока.

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Пример: Сила тока в проводнике сопротивлением R =50Ом равномерно растет от  за время  Определить выделившееся за это время количество теплоты.

Дано:

Определить: Q

Решение: Согласно закону Джоуля – Ленца для бесконечно малого промежутка времени,

По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. I = kt , где к – коэффициент пропорциональности 

Тогда  (1)

Проинтегрировав (1) и подставив выражение для k, найдем искомое количество теплоты:

Вычисляя получим Q =900 Дж.

Упражнение: 1. Сила тока в проводнике сопротивлением R =120Ом равномерно растет от  за время  Определить выделившееся за это время количество теплоты.

2. Сила тока в проводнике сопротивлением R =100Ом равномерно убывает от  за время  Определить выделившееся за это время количество теплоты.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники