Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Найти решение системы уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

  Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Заменяя значение z из второго уравнения получаем: .

С учетом первого уравнения, получаем:

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

 

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле

Общее решение неоднородного уравнения:

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

 

 

 

 

Пример 3.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Построим линии ограничивающие фигуру.

 – прямая; если , то ,

 если , то .

Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).

 – прямая, параллельная оси ох.

 – прямая, параллельная оси ох.

 – ось оу.

Подпись:

Рис. 8.

Фигура (рис.8) является криволинейной трапецией с основанием на оси оу, поэтому .

Тогда

(ед2).

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Используя формулу (3), где a=3, получим:

Пример 5.   Найти интеграл

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу тригонометрии , затем используем формулу (6)  . Получим: .

Справочник