Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

 Решить уравнение 

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Первообразная и интеграл

Напомним основные понятия и формулы.

Определение. Функция y= f (x), x Î (a,b), называется первообразной для функции y=f(x), x Î (a,b), если для каждого x Î (a,b) выполняется равенство

F ¢ (x)=f(x).

Замечание. Если f (x) есть первообразная для функции f(x), то при любой константе С, F(x)+C также является первообразной для f(x).

Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а множество всех первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и обозначается

.

Имеют место свойства:

1 ° . ;

2 ° . Если С=Const, то ;

3 ° . .

Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл», вместо этого говорят «множество всех первообразных».

 

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

В подынтегральной функции разделим почленно числитель на знаменатель. Затем воспользуемся неопределенного интеграла, а также формулой (1), преобразовав предварительно , если нужно подынтегральную функцию к виду . Получаем:

=

Замечание. При вычислении интеграла от суммы функций сумму произвольных постоянных, которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной и обозначают ее буквой С

Справочник