Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

 

Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

 Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

  Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Пример. .

Положим , тогда  и его решение .

Следовательно,  и  

или  – общее решение уравнения (2)

Правая часть не содержит х

 (3)

Положим  и будем считать z функцией y.

Тогда . Итак, .

Подставляя это в уравнение (3), получим: , т.е. уравнение первого порядка относительно z. Решив его, будем иметь  или .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Отсюда .

 Это общий интеграл уравнения (3).

 

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

В подынтегральной функции разделим почленно числитель на знаменатель. Затем воспользуемся неопределенного интеграла, а также формулой (1), преобразовав предварительно , если нужно подынтегральную функцию к виду . Получаем:

=

Замечание. При вычислении интеграла от суммы функций сумму произвольных постоянных, которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной и обозначают ее буквой С

Справочник