Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Решить уравнение

 

Производим замену переменной:

Общее решение:

 

 

§5. Линейные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида:  (1),

где  – неизвестная функция аргумента.

Уравнение (1) линейно относительно  и .

Если , то уравнение (1) примет вид:  (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение  (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда . (3)

Отсюда общий интеграл  или

  заменяем на  

Но  есть любое число, кроме нуля. Положим .

  – произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде:  (5),

где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

Используя формулу (3), где a=3, получим:

Пример 5.   Найти интеграл

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу тригонометрии , затем используем формулу (6)  . Получим: .

Справочник