Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

 

Решить уравнение

 

Составим характеристическое уравнение:

 

  Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

 

 

Теорема. Решением задачи Коши  служит функция:

. (9)

Замечания:

Формулу (9) можно записать короче, если  ввести под интеграл:

  (10)

Если в формуле (10)  считать произвольной постоянной (при этом значение  безразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).

Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).

Примеры:

Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь . Вычислим  (С можно положить = 0).

Положим . Так как , то .

Подставляем в уравнение .

Отсюда .

Следовательно, общее решение будет

Пример 2. Найти интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция - это дробь . Запишем ее в виде степенной функции, а именно, . Затем используем формулу (1), при . Получаем: .

Справочник