Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы

Определенные интегралы

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

Криволинейные интегралы

Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Поверхностные интегралы второго рода.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Теорема о вычетах

Найти вычет функции  относительно точки z = 2.

Таблица изображений некоторых функций

Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием.

Найти изображение функции f(t) = sint.

Теоремы свертки и запаздывания

Найти изображение функции

Решить уравнение

  при x(0) = y(0) = 1

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

 

Криволинейные интегралы

Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Поверхностные интегралы второго рода.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Формула Гаусса – Остроградского Найти формулу вычисления объема шара.

Основные трансцендентные функции

  Найти sin(1+2i).

 

Задачи к зачету и экзамену по электродинамике сплошных сред.

Задача 1.

Определить поле вокруг незаряженного проводящего шара радиуса , находящегося во внешнем однородном электрическом поле  .

Решение. Решение ищем в виде , где  - должна удовлетворять уравнению Лапласа и обращаться в нуль на бесконечности. Этим условиям удовлетворяет функция

. Далее из гранусловия на поверхности шара имеем

Задача 2.

Определить поле вокруг незаряженного проводящего цилиндра радиуса , находящегося во внешнем однородном электрическом поле , перпендикулярном оси цилиндра.

Решение. Решение ищем в виде , где  - должна удовлетворять двумерному уравнению Лапласа и обращаться в нуль на бесконечности. Этим условиям удовлетворяет функция . Далее из гранусловия на поверхности шара имеем

Задача 3.

Определить поле, создаваемое точечным зарядом находящемся на расстоянии  от плоской границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями  в среде .

Решение.

Безымянный.bmp

Потенциал в среде 1 ищем в виде  (удовлетворяет уравнению Пуассона в среде 1). А потенциал в среде 2 ищем как потенциал фиктивного заряда , помещенного в точку :. На границе должны быть выполнены условия

Задача 4.

При выводе уравнений Максвелла в сплошной среде были введены два вспомогательных вектора соотношениями:

Выяснить физический смысл этих векторов.

Решение. Для выяснения их физического смысла рассмотрим сначала интеграл (компоненту дипольного момента) для электронейтрального тела

Интеграл по поверхности равен нулю (поверхность можно взять вне тела). Тогда интеграл справа равен компоненте дипольного момента. Следовательно,  можно интерпретировать как плотность дипольного момента. Плотность определена неоднозначно (с точностью до выражения, которое при интегрировании по объему обращается в нуль). Сложнее со вторым вектором. Рассмотрим полный магнитный момент (для постоянных (или медленно меняющихся полей)

Далее используем обощенную теорему Гаусса (снова поверхность берем вне тела)

Далее имеем

 

В результате вычисляемый интеграл равен , что означает: вектор можно интерпретировать как плотность магнитного момента.

Задача 5.

Вывести соотношения Крамерса-Кронига для изотропной среды без пространственной дисперсии.

Решение. Исходим из определения “фурье-образа диэлектрической проницаемости“

  

 

где функция описывает поляризуемость среды

 

Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической проницаемостью, обладает тем преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических соображений) для любых . Тогда как  содержит особый вклад . Для функции  имеем

 

Еще одно важное свойство состоит в том, что  при . Действительно, значение поляризации в данный момент не должно зависеть от того, что происходило бесконечно “давно”, так как время релаксации среды конечно. Выразим перечисленные свойства через свойства фурье-образа :

 

 

 

Теперь рассмотрим функцию как функцию комплексной переменной . Из свойства причинности следует, что эта функция аналитическая в верхней полуплоскости  . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой частей

  

 

Проверьте условия Коши –Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а это следствие причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие причинности. Итак,  аналитична, и кроме того  при  . Вычислим интеграл (далее действуем как при выводе интегральной формулы Коши в ТФКП):

 

 

 

Буквы перед интегралом означают , что этого интеграл в смысле главного значения. Отсюда имеем соотношения Крамерса-Кронига

 

Проверить выполняются ли они для модели Дебая 

  

Задача 6.

Вывести дисперсионное уравнение из уравнений Максвелла.

Решение. Исходим из уравнений Максвелла

Подстановка гармонической зависимости всех функций дает ():

Это система линейных однородных уравнений относительно амплитуд. Условием существования ненулевого решения является равенство нулю детерминанта этой системы. Часто электромагнитная поляризация задается амплитудой электрического поля . Поэтому в вышеупомянутой системе принято исключать все другие переменные, кроме . После такого исключения (выкладки обязательно проделать самостоятельно) получаем систему уравнений

 

Привести какой-либо пример использования дисперсионного уравнения.

Задача 7.

Вывести выражение для диэлектрической проницаемости в модели неполярного диэлектрика. Найти частоты, соответствующие экстремумам действительной и мнимой части поляризуемости. Выделите и постройте графики действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости (один вид осцилляторов). Найдите комплексный показатель преломления .

Решение. Исходим из уравнения для упругого диполя с затуханием

  

Решение этого уравнения для гармонической зависимости от времени имеет вид

 

Отсюда имеем

 

Последнее выражение можно несколько обобщить, учитывая тот факт, что каждой молекуле можно поставить несколько осцилляторов с своими частотами и затуханиями

 

Дорешать задачу самостоятельно. 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники