Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы

Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Расчет трехфазных цепей
Примеры  решения типовых задач
Лабораторные работы
Методические указания к решению задачи
Расчет сглаживающего фильтра
Трехфазные цепи
Цепи несиносоидального тока
Математика
Интегрирование тригонометрических функций
Вычисление интегралов от рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Повторные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Теорема Остроградского-Гаусса
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Физические приложения двойных интегралов
Физические приложения криволинейных интегралов
Физические приложения поверхностных интегралов
Физические приложения тройных интегралов
Теорема Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Тройные интегралы в декартовых координатах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
Производная показательной и логарифмической функции
Производная степенной функции
Производная произведения и частного функций
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Найти производную функции
Примеры вычисления производной
Производная обратной функции
Логарифмическое дифференцирование
Исследование функций с помощью производных
Физика
Электродинамика
Электростатика
Электрический ток
Термодинамика
Решение задач
Основные операции над векторами
Кинематика твердого тела
Силы Виды взаимодействий
Закон сохранения импульса
Гравитация Законы Кеплера
Неинерциальные системы отсчета
Механические колебания
Физический маятник
Математический маятник
Резонанс
Специальная теория относительности

Преобразования Лоренца

Математическая физика
Химия
Примеры решения задач
контрольной работы
Современная теория строения
атомов и молекул
Контрольные задания
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
Химическая кинетика
Электролиз
Начертательная геометрия
Сечение геометрического тела
Аксонометрические проекции
Сборочный чертеж
Построение тел вращения
Развертка прямой призмы
Машиностроительное черчение
Профиль  резьбы
Работа «Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Сварные соединения
Разновидность  крепежных изделий
Выполнить эскизы с натуры
Шероховатостью поверхности
Выполнениечертежа сборочной единицы
Деталирование чертежа общего вида
Построение смешанного сопряжения.
Направления штриховки в разрезах
Сопромат
Деформации и перемещения при кручении валов
Расчет статически неопределимых балок
Действие с силами и моментами
Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям
Расчет цилиндрических витых пружин

Примеры решения задач на прочность

Ядерная энергетика
Реакторы атомных станций
Ядерное топливо и ядерные отходы
Ядерно-энергетические транспортные установки
Блочный щит управления энергоблока
Реакторы на быстрых нейтронах
АЭС с реакторами ВВЭР нового поколения
РБМК - Реактор Большой Мощности Канальный
ВВЭР и РБМК: сравнительные характеристики
Энергосберегающие технологии
Альтернативная энергетика
Информатика
Тонкая клиентная сеть
Создание корпоративной Webсети
Восстановление ЛВС после аварий
Беспроводные сети
Серверы масштаба предприятия и суперсерверы
Протоколы сетевого управления
Прокси-серверы
Оценка эффективности локальной сети
Производительность рабочих станций и серверов ЛВС
Кабельные системы для локальных сетей
История искусства
Архитектура
Интерьеры античности и возраждения в Италии
Вид на Акрополь
План терм Константина; разрез и фасады
План  и разрез Сакристии Сан Лоренцо
Интерьеры XIV—XV веков и эпохи классицизма в России
Интерьеры Успенского собора
Усадьба «Высокие горы»
 
Цифровая фотография

Определенные интегралы

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

Криволинейные интегралы

Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Поверхностные интегралы второго рода.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Теорема о вычетах

Найти вычет функции  относительно точки z = 2.

Таблица изображений некоторых функций

Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием.

Найти изображение функции f(t) = sint.

Теоремы свертки и запаздывания

Найти изображение функции

Решить уравнение

  при x(0) = y(0) = 1

Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

 

Криволинейные интегралы

Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами .

Поверхностные интегралы второго рода.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Формула Гаусса – Остроградского Найти формулу вычисления объема шара.

Основные трансцендентные функции

  Найти sin(1+2i).

 

Задачи к зачету и экзамену по электродинамике сплошных сред.

Задача 1.

Определить поле вокруг незаряженного проводящего шара радиуса , находящегося во внешнем однородном электрическом поле  .

Решение. Решение ищем в виде , где  - должна удовлетворять уравнению Лапласа и обращаться в нуль на бесконечности. Этим условиям удовлетворяет функция

. Далее из гранусловия на поверхности шара имеем

Задача 2.

Определить поле вокруг незаряженного проводящего цилиндра радиуса , находящегося во внешнем однородном электрическом поле , перпендикулярном оси цилиндра.

Решение. Решение ищем в виде , где  - должна удовлетворять двумерному уравнению Лапласа и обращаться в нуль на бесконечности. Этим условиям удовлетворяет функция . Далее из гранусловия на поверхности шара имеем

Задача 3.

Определить поле, создаваемое точечным зарядом находящемся на расстоянии  от плоской границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями  в среде .

Решение.

Безымянный.bmp

Потенциал в среде 1 ищем в виде  (удовлетворяет уравнению Пуассона в среде 1). А потенциал в среде 2 ищем как потенциал фиктивного заряда , помещенного в точку :. На границе должны быть выполнены условия

Задача 4.

При выводе уравнений Максвелла в сплошной среде были введены два вспомогательных вектора соотношениями:

Выяснить физический смысл этих векторов.

Решение. Для выяснения их физического смысла рассмотрим сначала интеграл (компоненту дипольного момента) для электронейтрального тела

Интеграл по поверхности равен нулю (поверхность можно взять вне тела). Тогда интеграл справа равен компоненте дипольного момента. Следовательно,  можно интерпретировать как плотность дипольного момента. Плотность определена неоднозначно (с точностью до выражения, которое при интегрировании по объему обращается в нуль). Сложнее со вторым вектором. Рассмотрим полный магнитный момент (для постоянных (или медленно меняющихся полей)

Далее используем обощенную теорему Гаусса (снова поверхность берем вне тела)

Далее имеем

 

В результате вычисляемый интеграл равен , что означает: вектор можно интерпретировать как плотность магнитного момента.

Задача 5.

Вывести соотношения Крамерса-Кронига для изотропной среды без пространственной дисперсии.

Решение. Исходим из определения “фурье-образа диэлектрической проницаемости“

  

 

где функция описывает поляризуемость среды

 

Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической проницаемостью, обладает тем преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических соображений) для любых . Тогда как  содержит особый вклад . Для функции  имеем

 

Еще одно важное свойство состоит в том, что  при . Действительно, значение поляризации в данный момент не должно зависеть от того, что происходило бесконечно “давно”, так как время релаксации среды конечно. Выразим перечисленные свойства через свойства фурье-образа :

 

 

 

Теперь рассмотрим функцию как функцию комплексной переменной . Из свойства причинности следует, что эта функция аналитическая в верхней полуплоскости  . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой частей

  

 

Проверьте условия Коши –Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а это следствие причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие причинности. Итак,  аналитична, и кроме того  при  . Вычислим интеграл (далее действуем как при выводе интегральной формулы Коши в ТФКП):

 

 

 

Буквы перед интегралом означают , что этого интеграл в смысле главного значения. Отсюда имеем соотношения Крамерса-Кронига

 

Проверить выполняются ли они для модели Дебая 

  

Задача 6.

Вывести дисперсионное уравнение из уравнений Максвелла.

Решение. Исходим из уравнений Максвелла

Подстановка гармонической зависимости всех функций дает ():

Это система линейных однородных уравнений относительно амплитуд. Условием существования ненулевого решения является равенство нулю детерминанта этой системы. Часто электромагнитная поляризация задается амплитудой электрического поля . Поэтому в вышеупомянутой системе принято исключать все другие переменные, кроме . После такого исключения (выкладки обязательно проделать самостоятельно) получаем систему уравнений

 

Привести какой-либо пример использования дисперсионного уравнения.

Задача 7.

Вывести выражение для диэлектрической проницаемости в модели неполярного диэлектрика. Найти частоты, соответствующие экстремумам действительной и мнимой части поляризуемости. Выделите и постройте графики действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости (один вид осцилляторов). Найдите комплексный показатель преломления .

Решение. Исходим из уравнения для упругого диполя с затуханием

  

Решение этого уравнения для гармонической зависимости от времени имеет вид

 

Отсюда имеем

 

Последнее выражение можно несколько обобщить, учитывая тот факт, что каждой молекуле можно поставить несколько осцилляторов с своими частотами и затуханиями

 

Дорешать задачу самостоятельно. 

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники