Матрицы примеры решения задач

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы

 Определить ранг матрицы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Решить систему уравнений:

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА – раздел векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами.

Определение 1.  Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. отрезок, для которого указаны ограничивающие его точка начала и точка конца вектора.

Если точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора, то вектор обозначается символом . Век­торы также обозначаются малыми латинскими буквами:  и т.д. (рис. 1).

Рис. 1.

Определение 2. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

Модуль вектора  обозначается символом .

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым вектором и обозначается символом  (). Нулевому вектору можно приписать любое направление. Все нулевые векторы равны друг другу.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (рис.2).



 Рис. 2.а Рис. 2.б

Если два вектора и  коллинеарны, то это обозначается следующим образом: . Векторы, изображенные на рис. 2.а, называются сонаправленными, обозначается так , а векторы, изображенные на рис 2.б, называются противоположно направлен­ными. Символически это записывается так .

Замечание. Сонаправленными и противоположно направленными могут быть только коллинеарные векторы.

Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

Определение 4. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 5. Два вектора и называются равными, если выполнены следующие усло­вия:

модули этих векторов равны;

векторы сонаправлены.

Символически это определение можно записать следующим образом:

Если считать, что на рисунке 1 векторы лежат в одной плоскости, то , то есть   и - разные обозна­чения одного и того же вектора. Векторы  и  при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления.

Таким образом, для задания любого вектора достаточно указать его модуль и направление, не фиксируя точку приложения (начало вектора может находиться где угодно). Используя определение равенства векто­ров, такой вектор всегда можно переместить поступательно, с помощью параллельного переноса, в требуе­мую точку пространства.

Замечание. Иногда свобода вектора ограничивается, например:

если кроме вектора задана его точка приложения, то он называется связанным (радиус-вектор);

если кроме вектора задана его точка направления, то он называется скользящим (вектор угловой скоро­сти расположен по оси вращения);

свободный вектор не ограничен ничем.

В дальнейшем, если это не оговорено специально, мы будем пользоваться понятием свободного вектора.

Для любого вектора  определим противоположный ему вектор, обозначаемый , такой, что мо­дули этих векторов равны, они коллинеарны, но противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору , обозначают –.

Если в пространстве заданы два вектора  и  то, используя определение равенства векторов, их можно привести к одному началу (рис. 3).

Рис. 3.

Тогда углом между векторами  и  называется наименьший угол j (jÎ[0,p]), на который нужно повер­нуть вектор  до совпадения с вектором .

 

Метод Крамера Найти решение системы уравнений:

Метод Гаусса Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники