Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Некоторые замечательные пределы

Найти предел .

 

  Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

 

 

x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1

  x3x2 x2 – 5x + 6

  - 5x2 + 11x

  - 5x2 + 5x

  6x - 6

  6x - 6 0

 

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

 

Найти предел.

 

 

3.1.2. Скалярное произведение векторов

Решение типовых задач

Скалярным произведением  векторов  и называется число

, (3.14)

где  – угол между векторами  и .

Приняты обозначения скалярного произведения или ().

Отметим следующие свойства скалярного произведения:

1) = ; 2)  =+; 3) .

В частности: , откуда

. (3.15)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой

=. (3.16)

Косинус угла между векторами  и  определяется по формуле

. (3.17)

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов  и  имеет вид

 или  . (3.18)

Если скалярное произведение отрицательно , то угол между векторами   и тупой. Если , то угол между векторами  и острый.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов  и   является существование такого числа , что

. (3.19)

Если , то векторы имеют одинаковое направление, если , то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

 =  =.

Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.

Что требуется

(на геометрическом языке)

Что достаточно сделать

(на векторном языке)

1. Установить параллельность прямых  и

Вводятся отрезки и, находят , где отрезки  и  принадлежат соответственно прямым m и n;  – число

2. Установить, что точки А, В и С принадлежат прямой

Установить справедливость одного из следующих равенств: , или , или ;

Доказать равенство

, где  и  – произвольная точка прямой

3. Установить перпендикулярность прямых m и n (т. е. )

Из скалярного произведения , где точки А и В принадлежат прямой m, а точки  и  – прямой n

4. Вычислить длину отрезка

В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в вектор  и воспользоваться формулой

5. Вычислить величину угла

Выбрать на сторонах угла векторы  и  и воспользоваться формулой , где  – угол между векторами и

Пример 1. Векторы  и  служат диагоналями параллелограмма. Выразить через  и  (рис. 3.2).

Решение. По определению суммы и разности векторов имеем +=, =. Сложив эти равенства, получим . Далее находим:

*,

,

Геометрические векторы являются предметом так называемого векторного исчисления, подобно тому, как числа являются предметом арифметики. В векторном исчислении над векторами производятся некоторые операции, которые являются математическими абстракциями аналогичных операций, производи­мых с различными конкретными векторными величинами в физике.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число (скаляр). В основу их определения положены известные из механики законы взаимодействия вектор­ных величин – сил, скоростей и т.д.

Справочник