Типовой
Физика

Лекции

Контрольная

Курс

На главную

Бесконечно малые функции

 

Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

 

 

 

Если , то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

 

  Пример. Если , то при х®0  не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

 

 Свойства эквивалентных бесконечно малых.

 

  1) a ~ a

  2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g

  3) Если a ~ b, то b ~ a

             4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и  или .

Отметим, что точки плоскости   (рис. 2.5) являются вершинами правильного треугольника. Это не случайно – для любого  и любого  корни степени n из числа являются вершинами правильного -угольника с центром в нуле (рис. 2.5).

 

 

 

 

 

 

2.2. Задачи более сложного типа

Пример 17. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней .

Решение. Если  – корень уравнения с действительными коэффициентами, то и  – тоже корень этого уравнения. Тогда левая часть квадратного уравнения раскладывается на множители 

т. е. искомое квадратное уравнение имеет вид . Этот же результат можно получить, производя решение по формуле Виета.

Ответ: .

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. Так как два комплексных числа  и  называются равными, если   и , то преобразуем наше уравнение к виду

,

тогда решая уравнения

получаем

Ответ:

Пример 19. Изобразить множества точек, для которых выполняются заданные условия: .

Решение. Поскольку , имеем . Действительные числа  изображаются точками оси абсцисс (рис. 2.6), значит, мы имеем область – вертикальную полосу, ограниченную прямыми:  и  (точки прямой  в область не входят, поэтому эта прямая изображена пунктиром).

Пример 20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

.

Решение. Поскольку , имеем

.

Найдем модуль полученного комплексного числа

||=

По условию

, или

,

.

Выделяя полные квадраты по   и , получим

Это неравенство представляет собой внутренность кольца (рис. 2.7), т. к. левая часть двойного неравенства – область, лежащая вне круга радиусом 1 с центром в точке С (–0,5; 0,5), правая часть – круг с центром в точке С и радиусом, равным 2 (границы окружностей в область не входят, поэтому они изображены пунктиром).

 

Система координат.

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем не­которую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор  раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Справочник