Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

 

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

  Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

 

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

 

1) Для l1 = -2: 

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0; x3 = -1;

 

Собственные векторы: 

 

2) Для l2 = 3: 

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1; x3 = 1;

 

Собственные векторы: 

 

3) Для l3 = 6: 

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2; x3 = 1;

 

Собственные векторы: 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

  Составим характеристическое уравнение:

 

 

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l2 - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l2 - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l2 + 9l - l3 + 3l2 - 8l = 0

-l3 + l = 0

l1 = 0; l2 = 1; l3 = -1;

 

  Для l1 = 0: 

 

Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

Пример 10. В декартовой прямоугольной системе координат Оху на кривой заданы две точки А и В. При этом скалярные произведения  и  где  – единичный вектор оси Ох. Найти вектор  и его длину.

Решение. Запишем координаты единичного вектора оси Ох, вектора . Обозначим координаты вектора  как координаты вектора  как, тогда наши скалярные произведения, согласно условию задачи:

.

Отсюда получаем ,. Нам известно, что точки А и В лежат на кривой , тогда найдем вторые координаты и  векторов  и  (координаты этих векторов такие же, как и у точек А и В, поскольку точка О(0; 0). Итак, координаты векторов  и  . Находим вектор . Далее находим модуль этого вектора .

Ответ: .

3.2. Применение методов векторной алгебры
для решения геометрических задач

Пример 11. В равнобедренном треугольнике АВС () точка Е делит боковую сторону в отношении 3:1 (считая от вершины В). Найти угол между векторами  и , если

Решение. Обозначим угол между векторами и  через . Так как  для получения ответа надо найти и скалярное произведение .

Легко видеть (рис. 3.4), что  и что . Поэтому, пользуясь свойствами скалярного произведения, имеем

() == ==.

Опуская высоту  в треугольнике АВС, получаем прямоугольный треугольник , в котором . Тогда =

Поскольку величина угла между векторами  и  равна , то =. Значит () =. Далее по теореме косинусов имеем

=

=

Теперь получаем, что  

Значит, .

Ответ: .

Пример 12. Длина ребра куба   равна 1. На ребре  взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна 1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4. Через центр куба и точки E и F проведена плоскость. Найти расстояние от вершины   до плоскости  (рис. 3.5).


Решение. Обозначим через  ортогональную проекцию точки  на плоскость . Введем в пространстве систему координат, поместив начало координат в точку  и направив ось Ох по лучу , ось Оy по лучу , ось Cz по лучу  и взяв за единицу масштаба отрезок, длина которого равна 1. Тогда точки E, F, K, B1 будут иметь следующие координаты: E(1; 0; 1/3), F(0; 1/4; 0); K(1/2; 1/2; 1/2), B1(0; 0; 1). Поскольку векторы и  не коллинеарны и точка Q лежит в плоскости a, то существyют числа b и g такие, что  и . Поскольку , , то

.

Вектор ортогонален векторам  и , поэтому

0 = (,)=

.

0 = (,)=

.

Решая эту систему относительно b и g,

,

находим b = –12/85 и g = 18/85. Тогда , и искомое расстояние равно

.

Ответ: .

 

Система координат.

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем не­которую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор  раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Основы физики и электротехники. Лекции, курсовые, задачи, учебники